가군

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가군(module)은 간단히 말하자면 가 아닌 위에서의 벡터 공간이라고 할 수 있다. 혹은, 가군은 가환군 위에 환의 작용(ring action)이 정의된 대수 구조라고 할 수도 있다. 환의 작용은 군의 작용과 비슷한 개념으로, 환의 곱셈 구조가 주어진 집합에 작용하는 것이다.[1]

다만, 작용받는 집합이 가환군으로 덧셈 구조를 가지고 있고 환 자체도 덧셈 구조를 가지고 있으므로, 환에서 곱셈과 덧셈 사이에 분배법칙을 요구한 것과 마찬가지로 환의 작용도 자기 자신의 덧셈과 작용받는 가환군의 덧셈에 대한 분배 법칙을 만족하길 요구한다.

이를 풀어쓰면 다음과 같다. MM 이 환 (R,+,×)(R, +, \times) 위에서의 가군이라는 것은 다음과 같은 두 연산이 정의되어 있다는 것이다.

(덧셈) +:M×MM +: M \times M \rightarrow M 가 정의되어 있으며 (M,+) (M,+) 는 아벨 군이다. 즉, 임의의 a,b,cM a, b, c \in M 에 대해
  • 결합 법칙: (a+b)+c=a+(b+c) (a+b) + c = a + (b+c)
  • 교환 법칙: a+b=b+a a + b = b + a
  • 항등원 존재: 0MM 0_M \in M 가 존재해 a+0M=0M+a=a a + 0_M = 0_M + a = a
  • 역원 존재: a+x=x+a=0M a + x = x + a = 0_M 를 만족하는 xM x \in M 가 존재한다.

(스칼라곱) :R×MM \cdot: R \times M \rightarrow M [2]가 정의되어 있으며 이는 모노이드 (R,×) (R, \times) 의 작용이고, RR MM ++ 에 대해 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 a,bR a, b \in R x,yM x, y \in M 에 대해 다음을 만족한다.
  • 결합 법칙: (ab)x=a(bx) (ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)
  • 분배 법칙 1: (a+b)x=ax+bx (a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x
  • 분배 법칙 2: a(x+y)=ax+ay a\cdot (x+y) = a \cdot x + a\cdot y
  • 항등원 곱: R R 의 곱셉에 대한 항등원 1R 1_R 에 대해 1Rx=x 1_R \cdot x = x [3][4]

위의 정의에서 바로 모든 벡터공간은 RR 이 체인 가군이라는 것을 깨달을 수 있을 것이다. 공리가 부족해보이겠지만 가군의 정의로부터 RR 이 체일 경우 벡터 공간의 조건도 만족함을 쉽게 확인할 수 있다. 그러면 벡터공간이 아닌 가군의 예시로는 무엇이 있을까? 먼저 대수학을 공부하다보면 자주 접하는 표기인 nx=x+...+x nx = x + ... + x에 대해 생각해보자. 이 표기를 몇 번 사용하다보면 곧바로 이것이 마치 xx nn 을 "곱하는" 것과 비슷하다는 것을 깨달을 것이다. 이 사실은 가군을 통해 설명할 수 있다. 즉, 아벨군 (G,+)(G, +) 에 대해, Z\mathbb{Z} 의 원소 nn 에 의한 스칼라곱을 nxnx 로 정의하면[5] GG Z\mathbb{Z} 위의 가군이다. 다른 예로는 이데알(ideal)을 들 수 있다. 환 RR 에서의 이데알 II 에 대해 스칼라곱을 RR 에서의 곱셈 연산으로 주면 이데알의 정의에 따라 스칼라곱은 II 에 대해 닫혀있고, 따라서 II RR 위의 가군이라 할 수 있을 것이다. 덧붙여서, RR RR 의 이데알이므로 RR RR 위의 가군이다.

[1] 물론, 환의 곱셈 구조는 군이 아니므로 모노이드의 작용(monoid action)이라고 부르는 것이 더 정확할 것이다. 애초에 군의 작용에 역원에 대한 조건이 없었으므로 이런 구분이 크게 의미가 있다고 할 수는 없겠지만.[2] 사실 스칼라곱이 반드시 왼쪽에서 행해질 이유는 없다. 스칼라곱을 :M×RM \cdot : M \times R \rightarrow M 으로 둘 경우 이 집합을 오른쪽 가군(right module)이라고 부르며, 이에 대응되는 의미로 여기서 정의하는 가군을 왼쪽 가군(left module)이라 부른다. 또한, 같은 환 위에서 왼쪽 가군이자 오른쪽 가군이면서 같은 원소에 대한 스칼라 곱 값이 같을 경우 이 대수 구조를 쌍가군(bimodule)이라 부른다.[3] 이 조건은 환의 정의에 따라 달라진다. 환의 정의에 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 경우에는 이 조건이 생략된다. 이 정의가 더욱 많은 경우를 다룰 수 있긴 하지만, 스칼라곱이 모노이드 작용조차 되지 못하고 반군의 작용이 되버리는 문제점이 생긴다.[4] 만약 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함된다면, 이 조건이 생략된 구조를 유사 가군(pseudomodule)이라 부른다. 반대로, 환의 정의에 곱셈의 항등원이 포함되지 않는다면 이 조건이 포함된 가군을 unital module 또는 module with unity라고 부른다.[5] 이 표기를 많이 접한 사람이라면 이미 알고 있을 사실이겠지만, 0x=0G0x = 0_G , (n)x=nx(-n)x = -nx 로 정의한다.