가역행렬의 기본정리

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1. 개요2. 가역행렬3. 내용4. 증명
4.1. part 14.2. part 24.3. part 34.4. part 44.5. part 5
5. 같이 보기


The Fundamental Theorem of Invertible Matrices

1. 개요[편집]

어떤 행렬이 가역행렬일 필요충분조건을 제시하는 정리이다.

2. 가역행렬[편집]

Invertible Matrix

역행렬이 존재하는 n×n 행렬 A를 가역행렬이라고 한다.

3. 내용[편집]

A를 n×n 행렬, T:V->W를 선형 변환이라고 하자. 그리고 B, C를 각각 V, W의 기저라고 하고, [T]_C<-B = A 라고 하자.

그럼 다음은 모두 동치이다.
  • (a) A가 가역행렬이다.
  • (b) R^n의 임의의 원소 b에 대하여, Ax=b의 해는 유일하다.
  • (c) Ax=0은 유일한 해[1]를 갖는다.
  • (d) A의 RREFI_n이다.
  • (e) A는 기본행렬들의 곱이다.
  • (f) rank(A) = n
  • (g) nullity(A) = 0
  • (h) A의 열벡터들은 선형독립이다.
  • (i) A의 열벡터들은 R^n을 생성한다.
  • (j) A의 열벡터들의 집합은 R^n의 기저이다.
  • (k) A의 행벡터들은 선형독립이다.
  • (l) A의 행벡터들은 R^n을 생성한다.
  • (m) A의 행벡터들의 집합은 R^n의 기저이다.
  • (n) A의 행렬식은 0이 아니다.
  • (o) 0은 A의 고윳값이 아니다.
  • (p) T는 가역이다.[2]
  • (q) T는 단사이다.
  • (r) T는 전사이다.
  • (s) ker(T) = 0[3]
  • (t) range(T) = W
  • (u) 0은 A의 singular value가 아니다.

4. 증명[편집]

4.1. part 1[편집]

선형 시스템 관련
  • (a) => (b) : b=A^(-1)x 로 유일.
  • (b) => (c) : b=0의 특수한 경우.
  • (c) => (d) : A의 RREF를 R이라고 하면 Ax=0와 Rx=0의 해는 같아야 하므로 Rx=0의 해는 유일해야 하고 free variable이 없어야 하며 따라서 R에는 zero row가 없어야 한다. 즉 R=I.
  • (d) => (e) : A와 I_n이 행 동치이므로 I_n에 적절한 row operation들을 유한 번 취해주어, 즉 적절한 elementary matrix들을 유한 번 곱해주어 A로 만들 수 있다. I_n은 행렬곱에 대한 항등원이므로 A는 기본행렬들의 곱으로 나타내어진다.
  • (e) => (a) : 기본행렬들의 행렬식은 0이 아니고, 임의의 n×n 행렬 P, Q에 대해 det(PQ)=det(P)det(Q)이므로 성립.

4.2. part 2[편집]

Rank Theorem 관련
  • (f) <=> (g) : Rank Theorem
  • (g) <=> (c) : nullity(A)=0 <=> null(A)=0[4] <=> Ax=0이면 x는 영공간에 속한다. <=> Ax=0이면 x=0이다.

4.3. part 3[편집]

열공간, 행공간 관련

4.4. part 4[편집]

선형변환 관련

4.5. part 5[편집]

기타 (행렬식, 고윳값, singular value)

5. 같이 보기[편집]

[1] 영벡터[2] 역함수 정리에 의해 T가 전단사함수이면 inverse가 존재하는 것은 맞으나, 이 경우 T의 inverse 또한 선형 변환임을 보일 필요가 있다.[3] 영공간[4] 영공간