갈루아 이론

에 마지막으로 수정됐습니다.

분류


1. 개요2. 고정군(fixing group)과 고정체(fixed field)
2.1. 고정군2.2. 예2.3. 고정체(fixed field)
3. 갈루아 확대(Galois extension)4. 정규 확대(normal extension)
4.1. 정규 확대의 동치 조건4.2. 예
5. 분리 확대(separable extension)
5.1. 분리 다항식(separable polynomial)
5.1.1. 형식적 미분(formal derivative)
5.2. 완전체(perfect field)5.3. 분리 원소(separable element)5.4. 분리 확대(separable extension)5.5. 갈루아 확대(Galois extension)
6. 갈루아 확대에서의 갈루아 대응(Galois correspondence)7. 예제
7.1. 원분체7.2. 유한체
8. 갈루아 코호몰로지 (Galois cohomology)와 쿰머 이론 (Kummer theory)9. 가해성 (Solvablilty)10. 무한 갈루아 이론 (Infinite Galois theory)

1. 개요[편집]

갈루아이론은 의 대칭성에 대한 정보를 "손실 없이" 으로 가져와, 연구하는 이론이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장(field extension)에서 부분체(subfiled)를 고정시키는 고정군(fixing group. 어떤 조건이 만족되면, 갈루아군(Galois group)이라 불린다.)[1]에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군(subgroup)에 대한 고정체(fixed field)가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다.[2] 즉, 고정체와 고정군이 일대일 대응되는 상황을 다루고자 하는 것이다. 이 상황을 보장해주는 확장이 갈루아 확장(Galois extension)이며, 이 때의 일대일 대응을 갈루아 대응(Galois correspondence)라 부른다.

갈루아 이론의 가장 대표적인 사례가 대수방정식의 대수적 가해성 판별문제이다. 이 문제를 예로 들어, 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록, 대수방정식이 풀리는 체의 확장에 대응되는 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 가해군(solvable group)이 아닐 수 있게 되어, 대수적 해법이 없게 된다.

이하에서는 체(대수학)의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, 유한 확대에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다.

학부생에게는 4학기내지 5학기동안 진행되는 학부 대수학 강의의 대미를 장식하는 이론이기도 하다. 그만큼 어렵기도 해서[3]인지 갈루아 이론이 포함된 과목은 그전까지만 해도 빵빵하던 대수학 수강생[4]들이 해당과목 시기만되면 언제 수강했냐는듯 우르르 빠져나가기도 하는 과목이다.

2. 고정군(fixing group)과 고정체(fixed field)[편집]

2.1. 고정군[편집]

체의 확장 K/FK/F에 대해, Aut(K/F):={σ:KK:σF=idF}\text{Aut}\left(K/F\right):=\left\{\sigma:K\rightarrow K:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right\}[5]을 생각하자. 정의에서 쉽게 알 수 있듯이, 이는 KK동형군(autoporphsim group)에서, FF를 고정시키는 것만 뽑아 구성한 것이다.이 역시 군을 이룬다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 이를 "FF의 고정군(fixing group)"이라 한다.

고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다. 즉, αK\alpha\in KfF[x]f\in F\left[x\right]의 근이라면, 임의의 σAut(K/F)\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)에 대해, σ(α)\sigma\left(\alpha\right)ff의 근이어야 한다.

이를 설명해보자. KK에서의 ff의 분해체(splitting field)[6]LL을 생각하자. 다음과 같은 사실이 알려져 있다.
임의의 σAut(K/F)\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)에 대해, τAut(L/F)\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)이 존재하여 σK=τ\left.\sigma\right|_{K}=\tau이다.

이제, α\alphaf=(xαi)f=\prod\left(x-\alpha_{i} \right)(αiL\alpha_{i}\in L, α=α1\alpha=\alpha_{1})라 하자. 임의의 σAut(K/F)\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)을 생각해보자. τAut(L/F)\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)이 존재하여 τK=σ\left.\tau\right|_{K}=\sigma인데, 이것에 대해, τF=idF\left.\tau\right|_{F}=\text{id}_{F}이므로, f=τ(f)=(xτ(αi))f=\tau\left(f\right)=\prod\left(x-\tau\left(\alpha_{i} \right)\right)이다. 따라서, τ(α)=σ(α)\tau\left(\alpha \right)=\sigma\left(\alpha\right)ff의 근이다. 이것을 바탕으로 다음과 같은, 다음의 고정군을 계산할 수 있다.

2.2.[편집]

  • 실수에서 복소수로의 확장, C/R\mathbb{C}/\mathbb{R}을 생각하자. 고등학교 때 배우는, 켤레 연산(conjugation)을 σ\sigma라 하면[7], Aut(C/R)={1,σ}\text{Aut}\left(\mathbb{C}/\mathbb{R}\right)=\left\{1, \sigma\right\}이다. 이는, σ(i)=i\sigma\left(i\right)=-i이고, ±i\pm i만이 x2+1=0x^{2}+1=0의 근이기 때문이다.
  • 유리수에 22의 (실수인) 33중근 α\alpha를 추가한 확장 Q(α)/Q\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}[8]에 대해, Aut(Q(α)/Q)=1\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1이다. 이는, α\alphax32=0x^{3}-2=0의 근인데, 이것의 근들 중 Q(α)\mathbb{Q}\left(\alpha\right)에 속하는 것은, α\alpha뿐이기 때문이다.

2.3. 고정체(fixed field)[편집]

체의 확장 K/FK/F에 대해, 고정군 G:=Aut(K/F)G:=\text{Aut}\left(K/F\right)과 그것의 부분군 H<GH<G을 생각하자. KH:={aK:σHσ(a)=a}K_{H}:=\left\{a\in K:\forall \sigma\in H\qquad \sigma\left(a\right)=a\right\}
하면, 이는 체임을 쉽게 보일 수 있다. 그리고 HH에 의해 고정되는 것들만 모은 체이므로, "고정체(fixed field)"라 부른다.

정의에서 자명하게,
  • K/KH/FK/K_{H}/F
  • H<Aut(K/KH)H<\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)
  • KAut(K/F)/FK_{\text{Aut}\left(K/F\right)}/F
임을 알 수있다. 하지만, KAut(K/KH)FK_{\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)}\neq F일 수도 있다. 에서 계산했듯이, Aut(Q(α)/Q)=1\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1이므로, Q(α)Aut(Q(α)/Q)=Q(α)Q\mathbb{Q}\left(\alpha\right)_{\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)}=\mathbb{Q}\left(\alpha\right)\neq \mathbb{Q}이다. 즉, 여러 체에 대한 고정군이 같고, 이것이 대칭성의 손실이다. 무손실성을 위해 갈루아 확대란 개념이 필요하다.

3. 갈루아 확대(Galois extension)[편집]

고정군은 체의 확장을 대칭성을 담고 있다. 하지만, 이것만으로는 체의 확장의 대칭성을 "손실 없이" 가져오기에는 무리가 있다. 이 무손실성을 보장하기 위해서는 체의 확대가 정규 확대(normal extension), 분리 확대(separable extension)여야하며, 이 정규이고 분리인 확대 즉, 정규분리 확대를 갈루아 확대(Galois extension)라 부른다.

대수방정식의 가해성에 대한 문제에서 갈루아 이론이 개발되었기에, 갈루아 이론은 대수방정식의 근의 치환을 다루는 것이라 보는 것이 편하다. 이는, 고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다는 것에서 이미 본 사실이다. 여기서, 어떤 방정식에 대해, (1) 한 근을 다른 모든 근으로 치환할 수 있는가 (2) 근이 중복되지 않는가[9]에 대해 질문할 수 있다. 이에 대한 답변이, 정규 확대와 분리 확대이다.

4. 정규 확대(normal extension)[편집]

확대 KK가 체 FF정규 확대(normal extension)이라 함은, 다음이 성립하는 것이다.
임의의 기약 다항식 fF[x]f\in F\left[x\right]에 대해, αK\alpha\in Kff의 근이면, αiK\alpha_{i}\in K이 존재하여 f=(xαi)f=\prod \left(x-\alpha_{i}\right)이다.[10]

4.1. 정규 확대의 동치 조건[편집]

다음이 알려져 있다.
체의 확장 K/FK/F에 대해, TFAE
  • K/FK/F는 정규 확대이다.
  • fF[x]f\in F\left[x\right]이 존재하여, KKff에 의한 FF분해체이다.[11]
  • 모든 E/KE/K, σAut(E/F)\sigma\in\text{Aut}\left(E/F\right)에 대해, σ(K)=K\sigma\left(K\right)=K이다.

4.2.[편집]

  • 임의의 체는 자기 자신의 정규확대이다.
    • R/R\mathbb{R}/\mathbb{R}는 정규확대이다.
      x2+1R[x]x^{2}+1\in R\left[x\right]은, 기약이고 분해되지 않지만, 확대인 R\mathbb{R}에서 한 근을 가지지 않는다.
      (x2+1)xR[x]\left(x^{2}+1\right)x\in R\left[x\right]은, 기약이고 한 근을 갖지만, 확대인 R\mathbb{R}에서 분해되지 않는다. 하지만, 기약이 아니다.
  • C/R\mathbb{C}/\mathbb{R}
    C\mathbb{C}는, x2+1R[x]x^{2}+1\in R\left[x\right]에 의한 R\mathbb{R}의 분해체이다.
  • 유리수에 22의 (실수인) 33중근 α\alpha를 추가한 확장 Q(α)/Q\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}는 정규확대가 아니다.
    x32Q[x]x^{3}-2\in \mathbb{Q}\left[x\right]는 한 근 α\alpha의 최소다항식이다. 그러나 Q(α)\mathbb{Q}\left(\alpha\right)에는 다른 근들이 없다.
  • 정규 확대는 추이적(transitive)이지 않다. 즉, E/FE/F, K/EK/E가 모두 정규확대라 하더라도 K/FK/F는 정규확대가 아닐 수 있다.[12]

5. 분리 확대(separable extension)[편집]

5.1. 분리 다항식(separable polynomial)[편집]

fF[x]f\in F\left[x\right]분리 다항식(separable polynomial)이라 함은, ff가 중근을 갖지 않는다는 뜻이다.[13]
  • (xi)(x+i)=x2+1R[x]\left(x-i\right)\left(x+i\right)=x^{2}+1\in R\left[x\right]는 분리 다항식이다.
  • 소수 pp에 대해, xpap=(xa)p(Z/pZ)(ap)[x]x^{p}-a^{p}=\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]는 분리 다항식이 아니다.

5.1.1. 형식적 미분(formal derivative)[편집]

본래 미분은, 극한의 개념이 있어야하지만, 단순히 다항식이 이루는 벡터 공간 위의 선형 연산자로 이해할 수 있다.[14] 그러면 보통의 미분과 아주 똑같이 작동한다.[15] 그 특징들 중에서 미분이 "근의 중복도"를 하나 낮추는 기능을 한다는 것[16]을 분리 다항식 판별에 적극 이용할 수 있다. 만약, ff가 중근을 갖는다면(한 근의 중복도가 11보다 크다면), ff'에서도 그 근을 갖는다. 즉, ff가 중근을 갖는다면, ff, ff'는 서로소가 아니다. 이의 역, 서로소가 아니면 중근을 갖지 않는다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 이에 의해 다음을 얻는다.
ff가 분리 다항식인 것과 (f,f)=1\left(f,f'\right)=1은 동치이다.

이를 이용하여 다음 결과를 얻는다.
  • f:=xpnx(Z/pZ)[x]f:=x^{p^{n}}-x\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left[x\right]는 분리 다항식이다.
  • xpap(Z/pZ)(ap)[x]x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]은 분리 다항식이 아니다.

5.2. 완전체(perfect field)[편집]

FF완전체(perfect field)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
  • char.F=0\text{char.}F=0이거나
  • Fchar.F=FF^{\text{char.}F}=F

완전체 위에서, 다음이 성립한다.
  • 기약 다항식은 분리 다항식이다.
  • 분리 다항식은 서로 다른 기약 다항식의 곱이다.
  • 역으로, 서로 다른 기약 다항식은 근이 서로 겹치지 않으므로, 서로 다른 기약 다항식의 곱은 분리 다항식이다.

정의와 정리에서 다음의 예들을 알 수 있다.
  • 유리수체 Q\mathbb{Q}는 표수가 00이므로 완전체이다.
  • 유한체는 완전체이다.
  • (xa)p(Z/pZ)(ap)[x]\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]는 기약임에도[17] 분리 다항식이 아니다다. 따라서 두 번째 명제에 의해 (Z/pZ)(ap)\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)분해체는 완전체가 아니다.

5.3. 분리 원소(separable element)[편집]

확대 K/FK/F에 대해, FF 위에서 대수적인 수 αK\alpha\in K분리 원소(separable element)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
α\alpha를 근으로 갖는 분리 다항식 fF[x]f\in F\left[x\right]이 존재한다.
이는 다음과 동치이다.
FF위에서의 α\alpha의 최소 다항식이 분리 다항식이다.
  • 유한체Gal(pn)\text{Gal}\left(p^{n}\right)의 모든 원소는 Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}의 분리 원소이다.
  • aa(Z/pZ)(ap)\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)위의 분리 원소가 아니다.
    (Z/pZ)(ap)\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)위에서의 aa의 최소 다항식은 xpap(Z/pZ)(ap)[x]x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]인데 이는 분리 다항식이 아니다.

5.4. 분리 확대(separable extension)[편집]

확대 K/FK/F에 대해, K/FK/F분리 확대(separable extension)라 함은 다음이 성립하는 것이다.
임의의 αK\alpha\in K는 분리원소이다.

분리 다항식을 다음과 같이 정의할 수도 있다.
K/FK/F에 대해, TFAE
  • K/FK/F가 분리 확대이다.
  • σ:KF:σF=idF=[K:F]\left|\sigma:K\hookrightarrow\overline{F}:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right|=\left[K:F\right]

다음이 성립한다.
  • 분리 확대의 추이성(transitivity)
    K/EK/E, E/FE/F가 분리 확대이면, K/FK/F 또한 그러하다.
  • 분리 다항식의 분해체는 분리 확대이다.
  • 분리 원소에 의한 확대는 분리 확대이다.

5.5. 갈루아 확대(Galois extension)[편집]

갈루아 확대(Galois extension)는 정규분리 확대를 뜻한다. 다음이 알려져 있다.
확대 K/FK/F, 군G<Aut(K/F)G<\text{Aut}\left(K/F\right)에 대해, K/KGK/K_{G}는 갈루아 확대이다.

이는 다음을 증명하기 위한 보조 명제에 가깝다.
유한확대 K/FK/F에 대해, TFAE
  • K/FK/F는 갈루아 확대이다.
  • 분리다항식 fF[x]f\in F\left[x\right]가 존재하여, KKff에 의한 FF의 분해체이다.
  • Aut(K/F)=[K:F]\left|\text{Aut}\left(K/F\right)\right|=\left[K:F\right]
  • KAut(K/F)=FK_{\text{Aut}\left(K/F\right)}=F


이들 동치조건들 중, 마지막 것이 (그토록 고대하던), 체의 대칭성을 "손실 없이" 군으로 이식해올 수 있다는 것을 의미한다. 분리 다항식의 분해체 조건은, 갈루아 이론이 어떻게 대수 방정식의 가해성 문제에 적용될 수 있는 지 알려준다. 다음 정의를 보자.
갈루아 군(Galois group)
  • 갈루아 확대 K/FK/F에 대해, Gal(K/F):=Aut(K/F)\text{Gal}\left(K/F\right):=\text{Aut}\left(K/F\right)
  • 분리다항식 fF[x]f\in F\left[x\right]에 대해, KKff에 의한 FF라 하자. 확대 Gal(f):=Gal(K/F)\text{Gal}\left(f\right):=\text{Gal}\left(K/F\right)

모든 갈루아 확대체는 Gal(f)\text{Gal}\left(f\right) 꼴이고, Q\mathbb{Q}는 완전체이므로, fQ[x]f\in \mathbb{Q}\left[x\right]가 분리다항식인 것은 아주 흔한 일이다. 이제, 대수적 해법이 존재하는 지 알고 싶은 fQ[x]f\in \mathbb{Q}\left[x\right]에 대해, Gal(f)\text{Gal}\left(f\right)를 조사해주면 된다.

6. 갈루아 확대에서의 갈루아 대응(Galois correspondence)[편집]

갈루아 대응(Galois correspondence)은 갈루아 군과 확대체 사이에 일대일 대응을 보장해주는 정리이다. 더욱이, 갈루아 군과 확대체 사이에는 reversed inclusion으로 같은 의미가 성립함을 보여준다.[18]
갈루아 확대 K/FK/F와 중간 체 K/E/FK/E/F에 대해, K/EK/E도 갈루아 확대이다.
갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory); 갈루아 대응(Galois correspondence)
갈루아 확대 K/FK/F에 대해,
(1) 중간 체들의 모임 {K/E/F}\left\{K/E/F\right\}와 부분군 {H<G:=Gal(K/F)}\left\{H<G:=\text{Gal}\left(K/F\right)\right\}사이에는 일대일 대응이 있다. 그 일대일 대응은, EGal(K/E)=HE\longmapsto \text{Gal}\left(K/E\right)=H, HKH=EH\longmapsto K_{H}=E로 주어진다.
(2) K/Ei/FK/E_{i}/F에 대해, E2/E1Gal(K/E2)<Gal(K/E1)E_{2}/E_{1}\leftrightarrow\text{Gal}\left(K/E_{2}\right)<\text{Gal}\left(K/E_{1}\right)
(3) σG\sigma\in G에 대해, Gal(K/σ(E))=σHσ1\text{Gal}\left(K/\sigma\left(E\right)\right)=\sigma H\sigma^{-1}
(4) E/FE/F가 갈루아 확대인 것과 Gal(K/E)G\text{Gal}\left(K/E\right)\vartriangleleft G은 동치이고, 이때, Gal(E/F)G/H\text{Gal}\left(E/F\right)\cong G/H이다.
(5) Gal(K/E1E2)H1H2\text{Gal}\left(K/E_{1}E_{2}\right)\cong H_{1}\cap H_{2}, Gal(K/E1E2)H1,H2\text{Gal}\left(K/E_{1}\cap E_{2}\right)\cong\left\langle H_{1},\, H_{2}\right\rangle

7. 예제[편집]

7.1. 원분체[편집]

우리는 Q\mathbb{Q} 위의 primitive nth root of unity[19]들 중 하나를 ζn\zeta_n이라고 쓰기로 하자. 그러면 Q(ζn)/Q\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}를 생각할 수 있는데, 예를 들면 n=4n=4일 때 ζ4=i\zeta_4=i가 되도록 할 수 있고 따라서 Q(ζ4)=Q(i)\mathbb{Q}(\zeta_4)=\mathbb{Q}(i)가 된다.

이제 aann랑 서로소일 때 ζn\zeta_nζna\zeta^a_n로 보내는 체 동형사상 Q(ζn)Q(ζn)\mathbb{Q}(\zeta_n)\to \mathbb{Q}(\zeta_n)를 생각하자. 그러면 이런 동형사상의 갯수는 1an1\le a\le n면서 nn이랑 서로소인 aa의 갯수, 그러니까 φ(n)\varphi(n)가 되고, ζn\zeta_n은 적당히 제곱하는 것으로 모든 nth root of unity를 만들 수 있으므로 Q(ζn)/Q\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}는 갈루아 확대고 그 갈루아 군은 (Z/nZ)×(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}가 된다.

7.2. 유한체[편집]

유한체 kk를 하나 생각하자. 그러면 이것의 유한 확대를 \ell이라고 하고 이것의 차수를 nn라고 하자. kk의 원소의 갯수가 qq일 때 \ell의 모든 원소들은 다음과 같은 다항식 fk[x]f\in k[x]의 근이 된다.
f(x)=xqnx f(x)=x^{q^n}-x
이는 \ell에서 0을 뺀 ×\ell^{\times}가 위수가 qn1q^n-1인 군이라서 그런다. 이를 다시 말하면 \ellff에 의한 kk의 분해체라는 것이며 따라서 kk의 차수가 nn인 모든 확대체는 서로 동형이라는 것이다. 그리고 유한체는 kk의 표수가 pp라면 다음과 같은 체 준동형사상
Z/pZ=Fpk\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p\to k
가 존재하므로 모든 유한체는 적당한 소수 pp가 있어서 q=pmq=p^m를 원소의 갯수로 갖고 이런 원소의 갯수를 갖는 유한체는 유일함을 알 수 있다. 이제 원소의 갯수가 q=pmq=p^m인 유한체를 Fq\mathbb{F}_{q}라고 쓰자.

우리는 다음으로 넘어가기 전에 다음 정리를 보자.
모든 체 KK에 대해서 K×K^{\times}의 유한군 GG는 순환군이다.

이것의 증명은 GG가 순환군이 아니라고 할 때 이것의 위수를 qq라고 하면 적당한 d1,,dmd_1,\cdots,d_m가 있어서 d1d2dmqd_1|d_2|\cdots|d_m|qd1dmd_1\neq d_m
G=Z/d1Z××Z/dmZG=\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \cdots\times \mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z}
가 되는데, 그러면 GG의 모든 원소는 f(x)=xdmxK[x]f(x)=x^{d_m}-x\in K[x]의 근이 된다. 왜냐하면 didmd_i|d_m for all imi\le m이기 때문이다. 그런데 그러면 xdmxx^{d_m}-x의 근의 갯수는 dmd_m개 이하이므로 dm<qdmd_m<q\le d_m가 되고 모순이 나온다. 따라서 GG는 순환군이다.

이제 차수가 nn인 유한체의 확대 k/Fqk/\mathbb{F}_q를 생각하고, 이것의 갈루아 군을 구해보자. 그보다 먼저 이것이 갈루아 확대인지 확인해야 하는데, 이것은 분리 확대고 위에서 보았듯이 f(x)=xqnxf(x)=x^{q^n}-x에 의한 Fq\mathbb{F}_q의 분해체이므로 정규 확대가 된다. 따라서 갈루아 확대고 갈루아 군이 있다.
그 갈루아 군의 위수는 nn를 넘을 수 없으며 다음과 같은 체 동형사상을 생각하자.
Frq:kk,Frq(x)=xq\mathrm{Fr}_q:k\to k,\mathrm{Fr}_q(x)=x^q
이는 Frqn=id\mathrm{Fr}^n_q=\mathrm{id}이므로 체 동형사상이고, 덤으로 k×k^{\times}는 순환군이므로 m<nm<n라면 적당한 αk\alpha\in k가 있어서 Frqm(x)x\mathrm{Fr}^m_q(x)\neq x가 된다. 따라서 Frq\mathrm{Fr}_q가 만드는 갈루아 군 안의 부분군은 위수가 nn고 따라서
Gal(k/Fq)=Z/nZ\mathrm{Gal}(k/\mathbb{F}_q)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
가 된다. 그리고 이 군의 생성자는 Frq\mathrm{Fr}_q고 이 생성자를 특별히 프로베니우스라고 부른다.

프로베니우스를 이용한 예를 하나 들어보자. F5\mathbb{F}_5의 primitive 11-th root of unity. 그러니까 x111=0x^{11}-1=0의 원소들 중에서 11이 아닌 원소 하나를 골라서 ζ11\zeta_{11}라고 쓰고 F5(ζ11)/F5\mathbb{F}_5(\zeta_{11})/\mathbb{F}_5를 생각하자. 만약에 그냥 Q(ζ11)\mathbb{Q}(\zeta_{11})라면 볼 것도 없이 차수가 10일 것이다. 그렇다면 이것은 어떨까?? 이를 확인하기 위해선 ζ11\zeta_{11}에 프로베니우스를 얼마나 씌워야 ζ11\zeta_{11}이 되는지를 확인해야 하는데, 적당한 계산으로
551(mod11) 5^5\equiv 1 \pmod {11}
임을 알 수 있으며 따라서 Fr55(ζ11)=ζ11\mathrm{Fr}^5_5(\zeta_{11})=\zeta_{11}이 된다. 프로베니우스는 갈루아 군의 생성자이므로 F5(ζ11)/F5\mathbb{F}_5(\zeta_{11})/\mathbb{F}_5의 차수는 5가 된다. 따라서 Q\mathbb{Q}나 11th root of unity가 없는 표수 0의 체하곤 다른 결과가 나온다.

그렇다면 차수 22는 어째서 나타나지 않는 걸까?? 이 차수 2는 Q5\mathbb{Q}_5F5\mathbb{F}_5를 올려야 등장한다. 이럴 때 이렇게 올린 체의 확장을 Q5(ζ11)/Q5\mathbb{Q}_5(\zeta_{11})/\mathbb{Q}_5라고 썼을 때 이는 비분기 확장(unramified extension)이 될 수 없고, 다음과 같이 분해된다.
Q5(ζ11)/K0/Q5\mathbb{Q}_5(\zeta_{11})/K_0/\mathbb{Q}_5
여기에서 K0/Q5K_0/\mathbb{Q}_5F55/F5\mathbb{F}_{5^5}/\mathbb{F}_5에서 딸려나오는 체의 확장이고 비분기 확장이다. 그리고 Q5(ζ11)/K0\mathbb{Q}_5(\zeta_{11})/K_0F5\mathbb{F}_5로 옮기면 바로 사라지는, 순하게 분기된 확장(tamely ramified extension)이다.

8. 갈루아 코호몰로지 (Galois cohomology)와 쿰머 이론 (Kummer theory)[편집]

코호몰로지란 간단히 말해서, 우리가 모르는 정보들을 모아놓는 곳이다. 예를 들면 다변수 미적분학에서
ω=yx2+y2dx+xx2+y2dy\omega=\frac{-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y
를 드람 코호몰로지에 넣으면 이것의 부정적분은 존재하지 않음을 알 수 있다. 그러니까 그 어떤 무한번 미분가능한 함수 fC(R2{0})f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2-\{0\})df=ω\mathrm{d}f=\omega를 만족할 수 없음을 알 수 있다. 이는 이 드람 코호몰로지가 드람 정리로 첫번째가 R\mathbb{R}00이 아니기 때문이며 덤으로 이렇게 부정적분이 없는 1-form은 오로지 ω\omega의 상수배꼴과 부정적분이 있는 다른 1-form들의 합으로 표현될 수밖에 없음을 보일 수 있다.

먼저 Ext 함자를 정의하자. RR가 (가환이 아니어도 되는) 1이 있는 환이고 M,NM,N가 모두 RR-가군이라고 하자. 그러면 MM의 사영 분해 PM0P^{\bullet}\to M\to 0NN의 단사 분해 0NI0\to N\to I^{\bullet}가 있을 때 이 둘로 HomR(M,N)\mathrm{Hom}_R(M,N)의 이중 사슬 복합체 HomR(P,I)\mathrm{Hom}_R(P^{\bullet},I^{\bullet})를 만들 수 있으며 이것의 전체화(totalization)의 ii번째 코호몰로지를 ExtRi(M,N)\mathrm{Ext}^i_R(M,N)라고 쓴다.

이것의 성질엔 다음이 있다.
(1) 어떤 사영 분해 PM0P^{\bullet}\to M\to 0와 단사 분해 0NI0\to N\to I^{\bullet}를 선택하더라도 ExtRi(M,N)\mathrm{Ext}^i_R(M,N)는 유일하다.
(2) 유도 함자를 통해서 정의할 수 있다. 그러니까 ExtRi(M,N)=RiHomR(M,)=LiHomR(,N)\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=R^i\mathrm{Hom}_R(M,-)=L^i\mathrm{Hom}_R(-,N)가 된다. 이 세 정의가 동치라는 것은 위에서 정의한 이중 사슬 복합체로 만든 스펙트럼 열에서 가로세로로 페이지를 넘기면 된다.
(3) 유도 범주를 이용하면 D(ModR)D(\mathrm{Mod}_R)에서 ExtRi(M,N)=HomD(ModR)(M,N[i])\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=\mathrm{Hom}_{D(\mathrm{Mod}_R)}(M,N[i])로 아주 깔끔하게 정의된다. 위의 네 정의가 동치라는 것은 i=0i=0에서 먼저 생각한 다음에 긴 완전열을 생각한다.
(4) 당연히 ExtR0(M,N)=HomR(M,N)\mathrm{Ext}^0_R(M,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N)다.
(5) ExtRi(,)\mathrm{Ext}^i_R(-,-)에서 앞은 안의 colimit를 limit로 옮기고 뒤는 안의 limit를 limit로 옮긴다. 이는 Hom 함자의 성질에서 그대로 딸려 나온다.
(6) i=1i=1일 때, ExtR1(M,N)\mathrm{Ext}^1_R(M,N){KOb(ModR)0MKN0}\{K\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)|0\to M\to K\to N\to 0\}이란 집합과 1-1 대응을 이룬다.

이제 GG가 유한군이라고 하면 Hi(G,M)=ExtZ[G]i(Z,M)H^i(G,M)=\mathrm{Ext}^i_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)라고 정의한다. 그렇다면 이것의 성질엔 다음이 있다.
(1) H0(G,M)=HomZ[G](Z,M)=MG={xMσ(x)=x for all xM}H^0(G,M)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)=M^G=\{x\in M|\sigma(x)=x\text{ for all }x\in M\}이 된다.
(2) 앞으로 Z[G]\mathbb{Z}[G]-가군을 간단하게 GG-가군이라고 쓰자. 그러면 GG-가군 MM에 대해서 1-공사슬(1-cocycle)을 f:GMf:G\to M이고 f(gh)=f(g)+gf(h)f(gh)=f(g)+gf(h)를 만족하는 함수라고 정의하자. 그리고 1-공경계(1-coboundary)를 적당한 xMx\in M이 있어서 f(g)=gxxf(g)=gx-x를 만족하는 함수로 정의하자. 그러면 H1(G,M)={1-cocycles}/{1-coboundaries}H^1(G,M)=\{\text{1-cocycles}\}/\{\text{1-coboundaries}\}가 된다. 이는 MM의 단사 가군을 구체적으로 잡는 것으로 알 수 있다.
(3) 위에서 바로 딸려나오는 것으로 MG=MM^G=M라면 H1(G,M)=Hom(G,M)H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M)가 된다.
(4) (Hilbert theorem 90) L/KL/K를 체의 유한 확장이라고 하고 갈루아 확장이라고 하자. 그리고 그 갈루아 군을 GG라고 하면 H1(G,L×)=0H^1(G,L^{\times})=0가 된다. 이것의 가장 간단한 증명은 충만한 평탄 내림(faithfully flat descent)로 H1(G,L×)=H1(SpecL,OSpecL×)H^1(G,L^{\times})=H^1(\mathrm{Spec}\,L,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,L})임을 증명하는 것이다.

이제 KK의 표수가 nn하고 서로소고 L/KL/K라는 갈루아 유한 확대가 있고 이것의 갈루아 군이 GGKK가 nth root of unity를 모두 가지고 있다고 생각해보자. 그 nth root of unity들의 군을 μn\mu_n라고 쓴다면 다음과 같은 완전열을 만들 수 있다.
0μnL×L×00\to \mu_n\to L^{\times}\to L^{\times}\to 0
여기에서 첫번째 화살표는 그냥 inclusion, 두번째 화살표는 α\alphaαn\alpha^n로 보내는 군 준동형사상이다. 그러면 이것의 핵은 μn\mu_n이 되므로 이 완전열이 만들어진다. 그러면 우리는 여기에 코호몰로지를 씌울 수 있고 그러면 이 완전열은
0H0(G,μn)H0(G,L×)H0(G,L×)H1(G,μn)H1(G,L×)0\to H^0(G,\mu_n)\to H^0(G,L^{\times})\to H^0(G,L^{\times})\to H^1(G,\mu_n)\to H^1(G,L^{\times})
란 긴 완전열을 만든다. 이제 각각의 코호몰로지를 계산하면 첫번째는 KK에 대한 가정과 성질 (2)로 μn\mu_n고 두번째와 세번째는 성질 (2)와 갈루아 이론의 기본 정리로 K×K^{\times}고 네번째는 μnG=μn\mu^G_n=\mu_n와 성질 (3)으로 H1(G,μn)=Hom(G,μn)H^1(G,\mu_n)=\mathrm{Hom}(G,\mu_n)고 다섯번째는 성질 (4)로 0이다. 따라서 다음을 만들 수 있다.
Hom(G,μn)=(K×(L×)n)/(K×)n\mathrm{Hom}(G,\mu_n)=(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n
이제 왼쪽을 분석해보자. 왼쪽은 factor group이 Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}의 부분군인 GG의 부분군하고 1-1 대응을 이룬다. 이는 다시 갈루아 이론의 기본 정리로 LL 안에 있는 KK의 차수가 nn의 약수이고 그 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대들의 모임과 1-1 대응을 이룬다.
다음으로 오른쪽을 분석해보자. (K×(L×)n)/(K×)n(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n의 원소들은 a(K×)na(K^{\times})^n꼴이고, 이는 KK의 확대체 K(a1n)K(a^{\frac{1}{n}})하고 1-1 대응을 이룬다. 따라서 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확장을 순환 확장(cyclic extension)이라고 하면 우리는 다음 대응을 만들 수 있다.
{Cyclic extensions of K which degrees are divided by n}{L/K(a1n)/K for aK}\{\text{Cyclic extensions of }K\text{ which degrees are divided by }n\}\leftrightarrow\{L/K(a^{\frac{1}{n}})/K\text{ for }a\in K\}
그러니까, 간단히 말하면 모든 순환 확장은 제곱근꼴로 표현 가능하다는 것이다. 이를 쿰머 이론이라고 부른다.

9. 가해성 (Solvablilty)[편집]

이제 우리는 근의 공식이 무엇인지에 대해서 생각해보자. 2차방정식의 근의 공식은 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0이 있을 때
x=b±b24ac2ax=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
꼴로 표현된다. 그러니까, 계수들의 사칙연산제곱근만을 이용해야 한다. 이를 체의 확장으로 표현하면 이렇게 된다.
Q(a,b,c)(b24ac)/Q\mathbb{Q}(a,b,c)(\sqrt{b^2-4ac})/\mathbb{Q}
이 체의 확장이 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0의 분해체를 표현하는 것이다. 이렇게, 우리는 KK가 체고 fK[x]f\in K[x]일 때 이것이 근의 공식으로 해를 구할 수 있다는 것을 다음과 같이 정의하자.
  • 적당한 체들 L=Kn/Kn1//K1/K0=KL=K_n/K_{n-1}/\cdots/K_1/K_0=K가 존재한다. 그리고 ff의 분해체는 LL의 부분체다. (그냥 LL라고 해도 상관 없다.)
  • Ki+1/KiK_{i+1}/K_i들이 적당한 aiKia_i\in K_i가 있어서 for some nin_i, Ki+1K_{i+1}fni(x)=xni1Ki[x]f_{n_i}(x)=x^{n_i}-1\in K_i[x]의 분해체가 된다.

이는 직관적인 정의인데, 한 번씩 제곱근을 씌우는 과정을 단순히 Ki+1/KiK_{i+1}/K_i란 체의 확대를 생각하는 것으로 바꾼 것 뿐이다. 예를 들면 bb가 0이 아닐 때 x3+ax+b=0x^3+ax+b=0란 방정식을 풀 때 x=u+vx=u+v로 나타내서
u3+v3+b+(3uv+a)(u+v)=0u^3+v^3+b+(3uv+a)(u+v)=0
로 나타내면 u3+v3+b=0,u3v3=a327u^3+v^3+b=0, u^3v^3=-\frac{a^3}{27}가 되도록 u,vu,v를 잡을 수 있고, 따라서 u3,v3u^3,v^3
t2+bta327=0t^2+bt-\frac{a^3}{27}=0
의 두 근이 된다. 이 과정에서 u3,v3Q(a,b)(b2+4a227)=K1u^3,v^3\in \mathbb{Q}(a,b)\left(\sqrt{b^2+\frac{4a^2}{27}}\right)=K_1여야 하고, 따라서
x=u+vK1((u3)13,(v3)13)=K2x=u+v\in K_1((u^3)^{\frac{1}{3}},(v^3)^{\frac{1}{3}})=K_2
여야 한다. 이렇게 우리는 L=K2/K1/K0=K=Q(a,b)L=K_2/K_1/K_0=K=\mathbb{Q}(a,b)를 만들었다.

fK[x]f\in K[x]가 근의 공식으로 해를 구할 수 있다고 해보자. 그러면 정의에 나오는 L/KL/K는 언제나 갈루아 확대고 그 갈루아 군은 가해군이어야 한다. 왜냐하면 Gi=Gal(Ki+1/K)G_i=\mathrm{Gal}(K_{i+1}/K)라고 한다면 G0G1Gn1=Gal(L/K)G_0\subseteq G_1\subseteq \cdots \subseteq G_{n-1}=\mathrm{Gal}(L/K)Gi+1/Gi=Gal(Ki+1/Ki)G_{i+1}/G_i=\mathrm{Gal}(K_{i+1}/K_i)는 쿰머 이론으로 순환군이 되기 때문이다.

이제 f(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0를 생각하고 K=Q(a,b,c,d,e)K=\mathbb{Q}(a,b,c,d,e)라고 하자. 그러면 ff의 분해체는 그 갈루아 군이 S5S_5가 된다. 왜냐하면 ff의 다섯 근을 α1,α2,α3,α4,α5\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5라고 하면 이 다섯을 뒤섞는 군의 작용을 생각할 수 있기 때문이다. 그리고 결정적으로 S5S_5는 가해군이 아니고 따라서 일반적인 5차방정식은 근의 공식을 가지지 않는다.

이제 S3,S4S_3,S_4는 가해군임을 생각해보자. 그러면 쿰머 이론으로 KK가 표수가 0이고 모든 nth root of unity를 갖는다면 (이 둘에 대해선 n4n\le 4에 대해서만 가져도 된다.) 모든 순환 확장은 aKa\in K가 있어서 K(a1n)/KK(a^{\frac{1}{n}})/K꼴이고, 따라서 갈루아 이론의 기본 정리로 3,4차방정식은 계수를 넣으면 바로 근이 나오는, 그러니까 근의 공식을 가진다. 이 두 근의 공식을 각각 카르다노의 방법, 페라리의 방법이라고 부른다.

10. 무한 갈루아 이론 (Infinite Galois theory)[편집]

여태까지 갈루아 이론을 체의 유한 확대에 대해서만 했는데, 이걸 대수적 무한 확대로 일반화할 수 있다.
대수적 확대 L/KL/K가 있을 때 LL의 원소들 중 유한개만을 잡아서 체를 만드는 것으로 적당한 direct system {Ki}\{K_i\}가 있어서
L=limiKiL=\lim_i K_i
라고 쓸 수 있다. 여기에서 lim은 direct limit를 뜻하고 Ki/KK_i/K는 언제나 유한 확대다. 여기에선 direct limit를 쉬운 용어로 합집합으로 바꿔도 되지만 이를 갈루아 군으로 옮길 때 inverse limit로 바뀌는 걸 잘 설명하려면 이를 direct limit로 표현하는 것이 좋다.

대수적 무한 확대 L/KL/K갈루아 확대라는 것은 KLK'\subseteq L인 모든 유한 확대 K/KK'/K가 어떤 유한 갈루아 확대 K/K,KLK''/K,K''\subseteq L이 있어서 KKK'\subseteq K''일 때를 말한다. 그리고 이 때 L/KL/K의 갈루아 군을
Gal(L/K)=limiGal(Ki/K)\mathrm{Gal}(L/K)=\lim_i \mathrm{Gal}(K_i/K)
로 정의한다. 여기에서의 lim은 inverse limit고 Ki/KK_i/K들은 모두 유한 갈루아 확대다. 여기에서 Kj/KiK_j/K_i라는 갈루아 확장들 사이의 체의 확장이 있으면 Gal(Kj/K)Gal(Ki/K)\mathrm{Gal}(K_j/K)\to \mathrm{Gal}(K_i/K)라는 단사 군 준동형사상이 언제나 유일하게 존재한다.

앞으로의 증명을 쉽게 하기 위해서 L/KL/K가 유한 분해 가능 확대일 때 이것의 갈루아 폐포를 정의하자. 이것의 갈루아 폐포는 LL을 포함하는 모든 KK의 갈루아 확대체의 교집합이며 이는 L=K(α1,,αn)L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)라고 할 때 α1,,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_n의 최소 다항식의 다른 해들을 모두 KK에다가 넣으면 바로 유한 갈루아 확대체가 나오므로 존재한다.

L/KL/K가 무한 갈루아 확대면 모든 αL\alpha\in L에 대해서 K(α)K(\alpha)는 분해 가능 확대임을 알 수 있고, 덤으로 i:LKˉi:L\to \bar{K}란 embedding이 있고 αL\alpha\in Lα\alpha의 최소 다항식의 분해체를 KK'라고 한다면 i(K)=Ki(K)=K고 따라서 αL\alpha\in L이 되고 i(L)=Li(L)=L가 된다. 반대 방향은 두 조건을 만족하는데도 적당한 ELE\subseteq L가 있어서 그 어떤 갈루아 확장 L/K/KL/K'/KEE를 포함하지 못 한다면 간단히 EE의 갈루아 폐포를 생각하면 적당한 αE\alpha\in E가 있어서 이것의 최소 다항식의 어떤 해는 LL 바깥에 있고 따라서 K(α)K(\alpha)에 대해 α\alpha에서 그 해로 가는 동형사상을 잡으면 이것은 프렐라이의 isomorphism extension theorem[20]으로 i:LKˉi:L\to \bar{K}로 확장할 수 있고, i(L)i(L)는 그 해를 포함하므로 LL이 될 수 없고 모순이다. 따라서 다음이 성립한다.
L/KL/K가 갈루아 확대라는 것과 L/KL/K의 모든 부분 확대가 분해 가능 확대고 모든 i:LKˉi:L\to \bar{K}i(L)=Li(L)=L를 만족하는 것과 LLKK의 유한 갈루아 확대들의 direct limit라는 것은 동치다.

이제 L/KL/K가 갈루아 확대일 때 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)를 살펴보자. 우리는 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)를 마치 유한 갈루아 이론을 했을 때처럼 나타내고 싶다. 그러니까 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K){σ:LL}\{\sigma:L\to L\}들로 나타내고 싶은데, 먼저 σ:LL\sigma:L\to L가 있다면 이건 모든 유한 갈루아 확대 L/Ki/KL/K_i/K에 대해서 KiKiK_i\to K_i를 만드므로
{σ:LL}Gal(L/K)\{\sigma:L\to L\}\to \mathrm{Gal}(L/K)
란 전사함수를 만들고 이 대응으로 두 σ,σ:LL\sigma,\sigma':L\to L가 같아지는데 둘이 다르다면 적당한 αL\alpha\in L가 있어서 σ(α)σ(α)\sigma(\alpha)\ne \sigma'(\alpha)인데 그러면 α\alpha의 최소다항식의 분해체에서 σ,σ\sigma,\sigma'는 서로 달라지고 대응으로 서로 같아진다는 조건에 모순이 생긴다. 따라서 우리는 그냥 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)를 이렇게 정의할 수 있다.
Gal(L/K)={σ:LL,σ(a)=a for all aK}\mathrm{Gal}(L/K)=\{\sigma:L\to L,\sigma(a)=a\text{ for all }a\in K\}
하지만 무한 갈루아 확대에 대한 갈루아 군을 이렇게 나타내는 건 별로 좋지 않다. 대수적 무한 확대의 모든 정보는 유한 확대에서 나오며 따라서 통으로 동형사상들을 모으는 것보다 유한 확대의 direct limit를 생각하는 것이 훨씬 더 근본적이다.

이제 이런 무한 갈루아 확대의 예제를 찾아보면 KK가 아무 체라면 KK의 모든 분해 가능 확대로 direct limit를 씌운 (또는 모든 분해 가능 확대체들을 합집합한) KsepK^{\mathrm{sep}}가 있다. 그리고 Ksep=KˉK^{\mathrm{sep}}=\bar{K}라는 것과 KK가 완전체라는 것은 동치고, 다음 갈루아 군 Gal(Ksep/K)\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)절대 갈루아 군이라고 부른다.
절대 갈루아 군의 예를 들어보면 Gal(Qˉ/Q)\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})가 있는데, 보통 정수론계에서 이 군은 정말로 알아내기가 어렵다고 알려져 있다. 그리고 유한체에 대해선
Gal(Fˉq/Fq)=limZ/nZ=Z^=pZp\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)=\lim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\hat{\mathbb{Z}}=\prod_{p}\mathbb{Z}_p
가 되는데, 여기에서 lim은 inverse limit며 Zp=limZ/pnZ\mathbb{Z}_p=\lim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}이며 맨 마지막 등호는 중국인의 나머지 정리를 쓴 것이다.

L/KL/K가 갈루아 확대일 때 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)엔 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 갈루아 군에 위상을 주는 이유는 무한 갈루아 이론에도 갈루아 이론의 기본 정리를 만들어야 하는데 위상을 주지 않으면 갈루아 군 안에 있는 유한 확대의 direct limit에서 오지 않는 쓸모없는 군들을 골라낼 수 없기 때문이다.
이제, Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)에다가 위상을 줘보면 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)의 닫힌 부분군은 적당한 KiK_i들이 있어서 KiKi+1K_{i}\subseteq K_{i+1}Ki/KK_i/K들은 모두 유한 확대일 때 Gal(L/Ki)\bigcap \mathrm{Gal}(L/K_i)인 것들이 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)의 닫힌 부분군이라고 할 수 있다. 그리고 열린 부분군은 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)에서 유한 지표를 가지는 부분군이라고 할 수 있다. 그러니까 닫힌 부분군은 열린 부분군들의 교집합이고 열린 부분군은 Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K) 안에서 속이 꽉 차 있는 부분군이라고 할 수 있다. 그리고 닫힌 집합과 열린 집합은 각각의 유한 합집합과 임의의 합집합이다.
이 위상은 특별한 점이 하나 있는데, 다음과 같은 자연스러운 전사 사상
Gal(L/K)Gal(Ki/K)\mathrm{Gal}(L/K)\to \mathrm{Gal}(K_i/K)
가 언제나 연속이 되도록 하는 가장 엉성한 위상이라는 것이다.

이제 H=Gal(L/Ki)H=\bigcap \mathrm{Gal}(L/K_i)Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)의 닫힌 부분군이라고 하자. 그러면
KiKK,K/K is a finite extension K_i\subseteq K'\subseteq K'',K''/K\text{ is a finite extension }
에 대해서 (K)Gal(K/Ki)=Ki(K')^{\mathrm{Gal}(K''/K_i)}=K_i가 되고, 따라서 KK''먼저 LL로 보내면 (K)Gal(L/Ki)=Ki(K')^{\mathrm{Gal}(L/K_i)}=K_iLGal(L/Ki)=KiL^{\mathrm{Gal}(L/K_i)}=K_i가 나오고 따라서
LiGal(L/Ki)=limiKiL^{\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)}=\lim_i K_i
가 된다. 여기에서 오른쪽은 direct limit다. 이것으로 우리는 다음 대응을 생각하자.
{Closed subgroups of Gal(L/K)}{KL/E/K,},HLH\{\text{Closed subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\to \{K'|L/E/K,\},H\mapsto L^H
이제 이것이 1-1 대응임을 보일 텐데, 그러려면 H=Gal(L/LH)H=\mathrm{Gal}(L/L^H)임을 보여야 한다. 그리고 이는 H=iGal(L/Ki)H=\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)일 때
Gal(L/Ki)=Gal(L/LGal(L/Ki))\mathrm{Gal}(L/K_i)=\mathrm{Gal}(L/L^{\mathrm{Gal}(L/K_i)})
가 되고, 따라서 양변에 inverse limit를 취하면
H=Gal(L/LH)H=\mathrm{Gal}(L/L^H)
가 나오므로 1-1 대응이라는 것의 증명이 끝났다. 그리고 H=iGal(L/Ki)H=\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)Gal(L/K)\mathrm{Gal}(L/K)의 정규 부분군이라면 KK를 포함하는 limiKi\lim_i K_i의 모든 부분체는 분해 가능 확대체고 모든 분해 가능 유한 확대 E/KE/K에 대해서 Gal(LE/LHE)\mathrm{Gal}(L\cap E/L^H\cap E)Gal(LE/K)\mathrm{Gal}(L\cap E/K)의 정규 부분군이고 따라서 LHE/KL^H\cap E/K는 언제나 갈루아 확대고 모든 EE에 대해서 합집합하면 LH/KL^H/K는 갈루아 확대가 되므로 다음이 성립한다.
{Closed subgroups of Gal(L/K)}{EL/E/K}\{\text{Closed subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\leftrightarrow\{E|L/E/K\}라는 1-1 대응이 있으며 이는 정규 부분군을 갈루아 확대 E/KE/K로 보내며 갈루아 확대를 정규 부분군으로 보낸다.


[1] 부분체를 고정시키는 것은 대칭성을 담고 있다. [2] 후자의 경우는 어떤 경우도 일어나지 않는다. 이하의 정의를 보면 자명하다. 정말 문제가 되는 것은 전자이다. [3] 사실 어렵다기보다는 이전까지 배워왔던 (선형)대수이론이 총동원되기 때문에 부족한 부분이 있는 이론이 이해를 막는 경우가 많다. 의외로 이전까지 착실히 대수학 지식을 쌓아오던 학생들은 그다지 어렵게 느끼지 않는 경우도 많다.[4] 대부분의 학교에서 선형대수학과 대수학 첫번째 과목은 필수로 지정해 놓기도 하는지라..[5] 일반적으로 동형(isomorphism)을 나타내는 \overset{\sim}{\longrightarrow}가 작동하지 않아, \rightarrow로 대체한다. 이 문법이 작동하기 시작하면 바꿔주기 바란다.[6] ff가 풀리는 가장 작은 KK의 확장체. 이것이 존재하는 것은 잘 알려져 있다. [7] σ(a+bi)=abi\sigma\left(a+bi\right)=a-bi [8] Q(α)={a+bα:a,bQ}\mathbb{Q}\left(\alpha\right)=\left\{a+b\alpha: a,b\in \mathbb{Q}\right\}[9] 근이 중복된다면, 서로 달라야할 치환이 서로 겹치는 일이 벌어진다. [10] 한 근을 가지면, 분해(splitt)된다 [11] 즉, 정규확대와 분해체는 같은 개념이다. [12] 이 점을, 정규부분군의 관계와 비교해보아라. [13] ff에 의한, FF의 분해체 위해서 중근이 있는지 봐야하지만, 확대를 어떻게 잡아도 중근은 중근, 단근은 단근으로 나타나므로 굳이 확대를 언급할 필요가 없다. [14] 다항식에서의 미분을, 차수를 계수에 곱해주고, 차수를 내리는 "형식적인" 절차로 생각하자. [15] 곱의 미분, 선형성 등등 [16] f=(x2)1(x3)2(x5)5f=\left(x-2\right)^{1}\left(x-3\right)^{2}\left(x-5\right)^{5}에서 근 22, 33, 55의 중복도는 각각 11, 22, 55지만, ff'에서는 00, 11, 44이다. [17] 이 다항식은 aa의 최소다항식이다. [18] "가장 작은 확대체"는 "가장 작은 군"과 갈루아 대응이 이루어진다.[19] xn=1x^n=1를 만족하면서 m<nm<n일 때 xm1x^m\neq 1인 복소수[20] L/E/KL/E/K가 있고 i:EKˉi:E\to \bar{K}란 단사사상이 있으면 이는 i:LKˉi:L\to \bar{K}로 확장된다는 정리. 증명은 먼저 L/KL/K가 유한 확대라면 EE쪽 빼곤 그대로 두는 걸로 쉽게 증명되고 나머지는 무한 확대는 유한 확대의 direct limit라는 것을 이용해 유한 확대의 사슬을 만들고 선택공리를 이용한다.