고유치 문제

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1. 개요2. 유한 차원 벡터 공간에서의 선형 변환과 고유치 문제3. 고유 다항식과 고유치, 고유 벡터, 고유 공간4. 최소 다항식(minimal polynomial)

1. 개요[편집]

고유치(eigenvalue[1], characteristic value) 문제란 고유치와 고유다항식, 고유벡터에 대한 문제이다. 많은 경우, 행렬의 대각화를 다루며 이 문제를 풀기 시작할 것이다. 고유치 문제는 행렬의 대각화에 대한 쓸모와는 별개로, 행렬에 대한 다양한 정보들을 준다. 행렬선형 변환 사이에는 1-1 대응이 있기에 선형 변환에 대해서도 마찬가지이다.

"고유"라는 단어는 영어 "characteristic", 독일어 "eigen"의 번역으로, "고유"에 대한 외국어 표기를 쓸 때에는 공간 상의 이유로, 영문 표기만 따로 적겠다.

여기서는 FF 위의 유한 차원 벡터 공간V:=FnV:=F^{n}, AMn,n(F)A\in M_{n,n}\left(F\right)에 대해 다룬다.

2. 유한 차원 벡터 공간에서의 선형 변환과 고유치 문제[편집]

고유치 문제는, 정사각 행렬에 대해 다루는 것이 논하기 편하다. 그런데 유한 차원 벡터 공간 VV에 대해, 그 위의 선형 변환TT을 행렬로 변환시켜 행렬과 마찬가지의 논의를 할 수 있다. 이는, VV의 두 기저 B1B_{1}, B2B_{2}에 대해, 행렬 [T]B1\left[T\right]_{B_{1}}[T]B2\left[T\right]_{B_{2}}의 성질이 완전히 같기 때문에 가능한 일이다. [T]B1\left[T\right]_{B_{1}}[T]B2\left[T\right]_{B_{2}}상사라는 관점에서, 상사인 행렬은 근본적으로 다를 바 없다는 것을 보여준다.

3. 고유 다항식과 고유치, 고유 벡터, 고유 공간[2][편집]

행렬대각화에서는 λx=Ax\lambda x=AxλF\lambda\in F, 0xV0\neq x\in V을 찾고 싶었다. 이는 λIA=0\left|\lambda I-A\right|=0여야 가능한 일이다. 즉, λF\lambda\in F가 다항식 xIAF[x]\left|xI-A\right|\in F\left[x\right]의 근이어야 한다. xIA\left|xI-A\right|특성 다항식(characteristic polynomial)[3]이라 한다. 그리고 그 근 λF\lambda\in F고유값(characteristic value)[4]라 한다.[5] λIA=0\left|\lambda I-A\right|=0이므로, 0xV0\neq x\in V가 존재하여 (λIA)x=0\left(\lambda I-A\right)x=0 즉, λx=Ax\lambda x=Ax이다. 이 xVx\in VλF\lambda\in F에 대응하는 고유 벡터(characteristic vector)라 한다.

고유 벡터의 모임 Wλ:={xV:λx=Ax}W_{\lambda}:=\left\{ x\in V:\lambda x=Ax\right\} λF\lambda\in F에 대응하는 고유 공간(characteristic space)라 한다. 명백히, λ:char. val.Wλ<V{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}<V이다. 그리고 대각화 가능할 필요충분조건은 λ:char. val.Wλ=V{\displaystyle \bigoplus_{\lambda\text{:char. val.}}}W_{\lambda}=V이다. 이를 eigenspace decomposition이라 한다.

4. 최소 다항식(minimal polynomial)[편집]

행렬환(대수학) Mn(F)M_{n}\left(F\right)n2n^{2}차원 FF-벡터 공간이기도 하다. 따라서, {Ai:0in2}\left\{ A^{i}:0\leq i\leq n^{2}\right\} 는 선형 종속이다. 따라서, 다항식 0pF[x]0\neq p\in F\left[x\right]가 존재하여, (p)={qF[x]:q(A)=O}\left(p\right)=\left\{ q\in F\left[x\right]:q\left(A\right)=O\right\} 이고 degpn2\deg p\leq n^{2}이다. 이 ppAA의 최소 다항식이라 한다.

케일리-해밀턴 정리에 따라서, AA의 특성 다항식 ff에 대해, pfp\mid f이다.
또, 기약 다항식 iF[x]i\in F\left[x\right]에 대해, ifi\nmid f면, ipi\nmid p임이 알려져 있다.

[1] 붙여쓴다.[2] 영어로는 각각 characteristic polynomial, characteristic value (eigenvalue), characteristic vector (eigenvector), characteristic space (eigenspace)라 한다.[3] 고유 다항식이라고도 번역한다.[4] 고윳치이라고도 번역한다.[5] 여기서 고유값을 논할 때에는, 특성 다항식의 근으로 다루었다. 그러나 무한 차원에서의 선형 변환 TT에 대해서까지 정의를 하고자 하면, λIT\lambda I-T가 비가역인 것이라 하면 된다.