그람-슈미트 과정

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1. 개요2. 직교기저와 정규직교기저3. 구체적인 과정4. 응용


Gram-Schmidt Orthogonalization

1. 개요[편집]

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 R\mathbb{R}, C\mathbb{C}을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 유한차원 내적 공간의 기저로부터, (벡터 공간은 항상 기저를 가지므로) 정규직교 기저를 항상 갖는다.

2. 직교기저와 정규직교기저[편집]

기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때, 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때, 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

3. 구체적인 과정[편집]

유한차원 내적 공간(V,())\left(V,\left(\cdot\mid\cdot\right)\right)의 기저 {v1,,vn}\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}를 생각하자.
  1. ui:=vij<i(viuj)(ujuj)uju_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j<i}}\frac{\left(v_{i}\mid u_{j}\right)}{\left(u_{j}\mid u_{j}\right)}u_{j}
  2. wi:=1(uiui)uiw_{i}:=\frac{1}{\left(u_{i}\mid u_{i}\right)}u_{i}

여기서, {u1,,uk}\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\}가 직교 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다. wjw_{j}의 크기는 11이므로, {w1,,wn}\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}는 정규직교 기저이다.

4. 응용[편집]

  • 임의의 AGLn(C)A\in \text{GL}_{n}\left(C\right)에 대해, UU(n)U\in \text{U}\left(n\right)가 존재하여[1], AU1AU^{-1}은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[2]이다.
    A=(v1vn)GLn(C)A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(C\right)의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터wiw_{i}를 이용하여, U=(w1wn)U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right)라 하자. 그러면 첫번째에 의해, AU1AU^{-1}는 하삼각행렬임을 알 수 있다.

[1] 수반 연산자 항목 참조.[2] 주대각선 위 쪽이 모두 00인 행렬

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