나머지 정리

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1. 개요2. 나머지 정리3. 활용4. 관련 항목


Polynomial Remainder Theorem

1. 개요[편집]

고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 bbaa로 나누었을 때 (bab\geq a), b=aq+rb=aq+r(0r<a0\leq r<a)를 만족하는 정수 q,rq,r이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.
정식 B(x)B\left(x\right)를 정식 A(x)A\left(x\right)로 나누었을 때 (degB(x)degA(x)\deg B\left(x\right)\geq\deg A\left(x\right)), B(x)=A(x)Q(x)+R(x),(0degR(x)<degA(x))B\left(x\right)=A\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right),\,\left(0\leq\deg R\left(x\right)<\deg A\left(x\right)\right)를 만족시키는 정식 Q(x),R(x)Q\left(x\right),R\left(x\right)가 유일하게 존재한다. 이 때, Q(x)Q\left(x\right)를 몫, R(x)R\left(x\right)를 나머지라고 한다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.

2. 나머지 정리[편집]

xx에 대한 다항식 f(x)f\left(x\right)를 일차식 xax-a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)f\left(a\right)이다.
증명
{{|다항식의 나눗셈 정리에 의하여, f(x)=(xa)Q(x)+Rf\left(x\right)=\left(x-a\right)Q\left(x\right)+R를 만족시키는 다항식 Q(x)Q\left(x\right)상수 RR가 유일하게 존재한다.[1] x=ax=a를 대입하면, f(a)=Rf\left(a\right)=R. 즉, f(x)f\left(x\right)xax-a로 나눈 나머지는 f(a)f\left(a\right)이다.|}}
위 정리는 일반적인 일차식 ax+bax+b에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.
xx에 대한 다항식 f(x)f\left(x\right)를 일차식 ax+bax+b로 나누었을 때의 나머지는 f(ba)f\left(-\frac{b}{a}\right)이다.
증명은 동일하므로 생략한다.

3. 활용[편집]

나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 aa를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 f(x)f\left(x\right)xax-a를 인수로 가진다.[2] 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 더 자세한 내용은 항목 참조.

4. 관련 항목[편집]

[1] RR이 상수인 이유는 나누는 다항식의 차수가 1이기 때문이다.[2] 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다.