내적

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
기본 대상
선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수
1. 개요2. 정의3. 추가적인 공리 및 변형
3.1. 실수 에서3.2. 복소수 에서
4. 직교여부분공간(orthogonal complement subspace)

1. 개요[편집]

벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종. inner product 또는 dot product라고 부른다.

보통 내적은 벡터크기를 측정하는 용도로 쓰인다. 크기는 실수복소수에서 가능한 이야기이나, 일반적인 체 위에서도 내적에 대해 이야기할 수 있다. 본 문서에서는, 실수, 복소수, 일반적인 체로 나누어 설명하기로 한다.

내적이 주어진 벡터 공간을 내적 공간(inner product space)이라 한다. 행렬에서의 곱셈이 이상하게 정의된 이유가 바로 이것이다. 행렬 곱셈의 결과 행렬은 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열벡터를 내적한 값을 스칼라로 가지는 행렬이라고 할 수가 있다.

또한 내적은 적분으로도 정의가 되기도 하는데 공대에서 흔히 쓰이는 푸리에 해석이 바로 내적의 한 예이다.

모든 내적이 우리가 아는 dot product 로 정의되지는 않지만 벡터를 내적공간에 있는 정규직교기저(orthonormal basis)로 표시하면 어떤 내적이라도 dot product처럼 표현된다.

2. 정의[편집]

FF의 벡터 공간VV의 내적()V×VF\left( \cdot \mid \cdot \right)V\times V\rightarrow F은 다음을 만족한다.
  • (이 중 선형성)임의의 u,v,wVu,v,w\in VaFa\in F에 대해,
    -* (첫 번째 인수에 대한 선형성)(au+vw)=a(uw)+(vw)\left( au+v \mid w \right)=a\left( u\mid w \right)+\left(v \mid w \right)
    -* (두 번째 인수에 대한 선형성)(wau+v)=a(wu)+(wv)\left( w\mid au+v\right)=a\left( w\mid u \right)+\left(w \mid v \right)
  • (대칭성)임의의 u,v,wVu,v,w\in VaFa\in F에 대해,
    (uv)=(vu)\left( u\mid v\right)=\left( v\mid u \right)
  • (비퇴화성)임의의 vVv\in V에 대해,
    (vv)=0v=0\left( v\mid v\right)=0\rightarrow v=0

3. 추가적인 공리 및 변형[편집]

상황에 따라서, 위의 공리들이 변형되거나 몇 가지 공리들이 추가된다.

3.1. 실수 R\mathbb{R} 에서[편집]

  • (음이 아님)임의의 vVv\in V에 대해,
    (vv)0\left( v\mid v\right)\geq 0

3.2. 복소수 C\mathbb{C} 에서[편집]

이하의 세 공리는 자신과의 내적을 실수로 만들기 위한 것이다.
  • (음이 아님)임의의 vVv\in V에 대해,
    (vv)0\left( v\mid v\right)\geq 0
  • (켤레 대칭)임의의 u,vVu,v\in V에 대해,
    (uv)=(vu)\left( u\mid v\right)=\overline{\left( v\mid u \right)}
  • (두번째 인수에 대한 켤레 선형성)임의의 u,vVu,v\in V에 대해,
    (uav+w)=a(uv)+(uw)\left( u\mid av+w\right)=\overline{a}\left( u\mid v \right)+\left( u\mid w \right)[1]

4. 직교여부분공간(orthogonal complement subspace)[편집]

내적 공간 VV의 부분공간 W<VW<V을 생각하자. WW직교여부분공간(orthogonal complement subspace) WW^{\perp}을 다음과 같이 정의한다.[2] 실제로 WW^{\perp}은 부분공간이다.
W:={vV:wW(vw)=0}W^{\perp}:=\left\{v\in V:\forall w\in W \left(v\mid w\right)=0\right\}

다음을 쉽게 알 수 있다.
  • V=WWV=W\bigoplus W^{\perp}

[1] 기존 공리인 "두번째 인수에 대한 선형성"의 변형이다. [2] 부분공간이 아니더라도 정의는 할 수 있으나, SVS\subseteq V일 때 S=SS^\perp = \langle S \rangle^\perp이므로 그닥 쓸모는 없다.