대수

에 마지막으로 수정됐습니다.

분류

파일:나무위키+유도.png   수학의 한 분야에 대해서는 대수학 문서를 참조하십시오.

1. 代數, Algebraic number
1.1. 개요1.2. 관련 문서
2. 對數, Logarithm3. 大綬, Sash4. 代數, Algebra

1. 代數, Algebraic number[편집]

일정한 시간을 세는 단위도 대수(代數)이다. 단, 발음은 비록 규칙에는 어긋나지만 사이시옷을 넣어 거의 댓수라고 한다.

1.1. 개요[편집]

大數가 아니라 代數이다.

대수학에서 주로 다루는 수이다. 대수적인 수 라고도 한다. '대수학적인 방정식'의 근이 되는 수들을 대수라고 한다. 반대로 어떤 대수학적인 방정식의 근도 되지 않으면 초월수라고 한다. 다시 말하면, 정수 계수로만 이루어진 유한 차수 다항식의 근이 되는 수(들)이다.

임의의 유리수 ba\displaystyle \frac{b}{a}는 일차방정식 ax=bax = b의 근이 되기 때문에 모든 유리수는 대수이다.

무리수 부터는 대수인 수와 대수가 아닌수(초월수)로 나뉜다. 대수인 무리수를 하나만 들자면 2\displaystyle \sqrt{2}가 있는데, 이 수는 x22=0x^2-2 = 0의 근이 되므로 대수이다. 반대로 예를 들어 원주율 π\pi 같은 수는 대수가 아니고 초월수이다. 참고로 대수인 무리수들은 무한히 많은데, 초월수인 무리수는 대수보다는 더 많다. [1]

대수와 초월수의 개념은 복소수 범위까지 넘어간다. 예를 들어 i=1i = \sqrt{-1}허수이지만, x2+1=0x^2+1 = 0의 근이므로 ii는 대수이다.

1.2. 관련 문서[편집]

2. 對數, Logarithm[편집]

로그(log)의 한자식 표현이다. 로그에 대해서는 해당 문서 참조.

3. 大綬, Sash[편집]

훈장을 패용할 때 어깨에서 허리에 걸쳐 드리우는 끈(綬).

4. 代數, Algebra[편집]

대수(Algebra)는 복잡한 대수적 구조 중 하나로, 벡터 공간 위에 곱셈 구조가 추가로 주어진 대수적 구조라 할 수 있다. 다만, 기존에 이미 덧셈과 스칼라곱이라는 연산이 주어져 있었으므로, 이 곱셈은 덧셈과 스칼라곱에 대해 어떤 관계, 즉 분배 법칙을 만족해야만 한다. 즉, 대수에서 말하는 곱셈이란 각 항에 대해 선형적이며, 따라서 쌍선형 사상이라고 할 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

AA 가 체 FF 위의 대수라는 것은, 다음을 만족하는 것이다.
  • (벡터 공간) (A,+,) (A, +, \cdot) FF 위의 벡터 공간이다. 즉,
    • (가환군) A A 위에 + + 가 정의[2]되어 있으며, (A,+) \left( A,+\right) 가환군(abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
      임의의 x,y,zA x , y, z\in A 에 대하여
      • 덧셈에 대한 항등원 존재: A A 에는 특정한 원소 0A 0_A 이 존재하여 모든 xA x \in A 에 대하여 x+0A=0A+x=x x + 0_A = 0_A + x = x
      • 덧셈에 대한 역원 존재: A A 의 임의의 원소 x x 에 대하여 x+u=u+x=0A x + u = u + x = 0_A 을 만족하는 uA u \in A 가 존재한다. [3]
      • 교환법칙 성립: x,yA\forall x, y\in A, x+y=y+x x + y = y + x
      • 결합법칙 성립: x,y,zA\forall x, y, z\in A, (x+y)+z=x+(y+z) \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right)
    • (스칼라 곱) 연산 :F×AA \cdot:F\times A\rightarrow A(스칼라 배)가 존재하고 임의의 a,bFa,b\in F, x,yAx, y\in A에 대해 다음이 성립한다.
      • 벡터 합에 대한 분배법칙: a(x+y)=ax+ay a\cdot\left(x+y\right)=a\cdot x+a\cdot y
      • 스칼라 합에 대한 분배법칙: (a+b)x=ax+bx \left(a+b\right)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x
      • 스칼라 간의 곱에 대한 호환성: (ab)x=a(bx) \left(ab \right)\cdot x=a\cdot\left(b\cdot x \right) [4]
      • 스칼라 곱의 항등원: 1Fx=x 1_F \cdot x=x
  • (곱셈) A×AA A \times A \rightarrow A 는 쌍선형 사상이다. 즉, 임의의 a,bF a, b \in F x,y,zA x, y, z \in A 에 대하여,
    • 분배법칙 1: (x+y)×z=x×z+y×z \left(x + y \right) \times z = x \times z + y \times z
    • 분배법칙 2: x×(y+z)=x×y+x×z x \times \left(y + z \right) = x \times y + x \times z
    • 스칼라 곱에 대한 호환성: (ax)×(by)=ab(x×y) \left(ax \right) \times \left(by \right) = ab(x \times y)

우리가 가장 흔히 접하는 대수는 행렬 공간 Fn×n F^{n\times n} 이다. 선형 대수에서는 행렬 공간을 벡터 공간으로만 다뤄왔지만 누구나 행렬 공간에 곱셈 구조도 존재함을 알고 있을 것이다. 그러므로 선형대수학의 기본정리에 의해 임의의 벡터 공간 VV 에 대해 V V 에서 V V로 가는 선형 변환들의 공간 L(V,V)\mathfrak{L}(V, V) 도 합성 연산을 곱셈으로 가지는 대수이다. 여기에 더해 정의역과 공역이 같고 공역이 인 함수들의 모임도 대수를 이룬다고 할 수 있을 것이다.

그런데 위의 정의를 보면, 어째선지 당연하게 있어야 할 것이 없다. 바로 결합법칙이다. 즉, 대수에서의 곱셈은 결합 법칙을 요구하고 있지 않다![5] 이러한 방식으로 정의한 이유는 당연히 더 넓은 범위의 개념을 다루기 위해서겠지만... 실제 세계에서 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈이 있을까? 다시 위에서 이 문단의 첫 문장을 읽어보고 오자. 벡터 공간 위에 주어진 벡터의 곱이면서, 그 결과가 벡터고, 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈...? 그렇다. 바로 외적이다. 대수의 정의를 이렇게 둔 이유는 바로 (F3,+,,×) (F^3, +, \cdot, \times) 도 대수의 일부로 다루고자 하기 때문이다. 이 외의 비결합 대수의 예시로는 사원수가 있겠지만...[6] 애초에 벡터 자체가 사원수의 일반화에서 나온거니 당연한 얘기다.

그 외에도, 덧셈과 스칼라곱에는 있는데 곱셈에는 없는 조건이 있다. 바로 항등원의 존재이다. 만약 A A 1A 1_A 가 존재해서 모든 xA x \in A 에 대해 1A×x=x×1A=x 1_A \times x = x \times 1_A = x 라면, A를 unital algebra라 부른다.

[1] 대수인 무리수의 집합은 그 크기가 자연수와 같고, 초월수인 무리수의 집합은 그 크기가 실수와 같다.[2] x,yAx+yAx, y \in A \Rightarrow x + y \in A[3] 이 때, u=x u = -x 로 표기한다.[4] 이 조건 때문에 aFa\in F, xAx\in A에 대해 axa\cdot xax ax로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 ax ax 형태로 쓸 수 있다.[5] 곱셈이 결합 법칙을 만족하는 대수는 결합 대수(Associative Algebra)라고 부른다.[6] 기반 체는 실수체로 주고, 스칼라곱은 그냥 실수의 곱을 주면 된다.