대수학

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분류


1. 개요2. 역사3. 현대4. 교육
4.1. 초중고 교육과정에서4.2. 대학에서
4.2.1. 학부4.2.2. 교재4.2.3. 대학원4.2.4. 교재
5. 관련 문서

1. 개요[편집]

代數學, algebra

숫자 대신에 문자를 쓰거나, 수학법칙을 간명하게 나타내는 것을 다루는 학문이다. 말인즉슨 저기의 '대'는 대입(代入)시킨다고 할 때의 그 대다.

쉽게 설명해서, 방정식을 풀 때 미지수를 x 혹은 y로 치환하여 문제를 푸는 것을 대수학의 기초라고 보면 된다. 또한, 수학의 기초가 되는 학문이다. 이 때문에 우리가 알고있는 수학문제들은 모두 대수의 응용으로 풀린다.[1]

2. 역사[편집]

시작은 아부 압둘라 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)로 거슬러 올라간다. 9세기 초 페르시아의 수도 바그다드에서 활동한 학자였던 알콰리즈미는 복원과 상쇄의 책(al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala)을 집필하면서 조각난 부분들의 재결합을 의미하는 단어 al-jabr 를 통해서 방정식의 개념과 해법을 최초로 소개했다.[2] 이 때문에 알콰리즈미는 대수학의 아버지라고 불리고, al-jabr의 라틴어 번역인 algebra는 대수학이 되었고, 알콰리즈미를 라틴어식으로 읽은 알고리스무스(Algorismus)에서 알고리즘(algorithm)이 파생되어 나왔다. 이 다음에 쓴 그의 책 Algoritmi de numero Indorum는 인도의 숫자를 아라비아에 전파해서 아라비아 숫자라는 명칭을 만들어낸 대표적인 책이다.[3] 농담삼아서 이 사람이 없었으면 수학 때문에 머리 썩을 일이 없었을 것이란 소리까지 있다.

알콰리즈미 이후에 인도와 중국 등지에서 음수의 개념이 전해졌고, 이후 지롤라모 카르다노와 그의 제자 로도비코 페라리에 의해서 음의 근 개념과 3차와 4차 방정식이 추가되는 등 방정식의 계산법에 대한 연구가 이어졌다.

이후 닐스 헨리크 아벨이 증명한 5차 이상의 다항방정식의 일반해 공식을 찾을 수 없다는 것이 전환점이 되어 갈루아 등에 의해 방정식 내부의 숨은 원리를 찾는 방향인 "추상대수학"으로 발전하게 된다. 현대의 대수학은 방정식 외에 수학적 법칙을 일반화하고 간단하게 나타내는 데 사용한다.

3. 현대[편집]

현대의 대수학은 일반적으로 대수적 구조[4]를 연구하는 학문 분야로 취급되고 있다. 대수학의 분야로는 표현론, 가환대수학, 대수적 정수론, 대수기하학 등이 있다.

4. 교육[편집]

4.1. 초중고 교육과정에서[편집]

이 논문을 참조하였다.

초등학교: 다양한 경험을 통하여 수 개념을 형성하도록 한다. 덧셈과 곱셈 등 연산의 이해, 기초 계산 능력을 기르는 데 중점을 둔다. 이러한 과정에서 수학의 유용성을 인식하고, 수의 활용 가치를 알 수 있도록 한다.

중학교: 자연수의 개념이 정수, 유리수, 실수 개념으로 확장되며, 이러한 수에 관한 연산 능력을 기른다. 또한 문자를 사용하여 여러 가지 상황을 간단한 식으로 나타냄으로써 대수의 가치를 인식하게 한다.

고등학교: 집합과 명제를 이해하고, 이를 통하여 수학적 명제를 논리적으로 다룰 수 있게 한다. 실수에서 복소수로 수 개념을 확장하고 이에 관한 연산 능력을 배양한다. 다항식, 유리식, 무리식에 관한 연산도 할 수 있도록 하고, 이차 방정식 등 다양한 방정식의 근에 관하여 이해하게 한다.

4.2. 대학에서[편집]

4.2.1. 학부[편집]

3학년때 현대대수학이라는 이름으로 기본적인 군론환론을 시작으로 배우는데, 교재들이 싸그리 해석학처럼 집합과 대수를 먼저 빠르게 다룬 후, 대수를 보다 적극적으로 활용하여 추상적으로 배우기 때문에 여타 다른 수학과 마찬가지로 학부생들이 저자를 욕하게 되는 과목이다.[5] 대표적으로 Fraleigh 등... 현대대수학에서는 후반부에 가면 선형대수학을 선수과목으로 요구하나, 전반부는 정수론외엔 딱히 선수과목이 없다.

일반적으로 대학교의 현대대수학 수업은 두학기에 걸쳐 진행되는데 첫 학기에는 , 등을 배우고 최종적으로 3대 작도 불능 문제를 증명한다.[6] 두번째 학기에는 갈루아 이론을 배우고 멘붕을 하는데, 이 때 5차 이상의 방정식이 insolvable by radicals, 즉 유한개의 근호와 유리수, 그리고 사칙연산으로 풀리지 않음을 증명한다.

물론, 여기까지 배워 봤자 여전히 걸음마 단계이다. 사실 이는 나중에 가면 해석학과 같이 많이 사용하는 툴으로 전락해버린다. 예를 들어 대수적 정수론의 첫 장을 피려면 갈루아 이론을 알아야 한다거나.18시간만에 갈루아 이론을 공부했다든가 하면 별로 어렵지 않게 보인다

신현용 외(2003)에서는 수학교육과를 위한 대수 영역의 내용으로서 다음을 제안한다. 선형대수학, 정수론, 현대대수학 I, II.

4.2.2. 교재[편집]

  • Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra
    현대대수학 입문서적. 한국어 번역본도 시중에 나와있으며, 번역 질은 준수한 수준. 수많은 예제들과 친절한 설명이 특징이다. 많은 학교에서 학부 대수학 교재로 이 책을 써서 많은 학생들이 저주하는(...) 책 중 하나지만, 사실 이 바닥 교재 중에선 난이도가 낮은 편이다.
  • Artin, Algebra
    학부 대수와 대학원 대수의 중간 정도에 있는 책. 위의 프렐라이 보단 내용이 엉성하기 때문에 다른 책과 같이 보는 걸 추천한다.
  • 이인석, 학부 대수학 강의 II: 대수학
    선형대수학 문서에도 소개되어 있는 동 저자의 '학부 대수학 강의 I: 선형대수와 군'의 속편이다. 전편에서 군론의 상당 부분을 다뤘다는 점을 감안하여 통상 수준보다 약간 심화된 내용을 다룬다. 특히 학부 과정에서는 잘 다루지 않는 가군(module)과 대수(algebra)에 대한 내용도 깊이 있게 서술한 것이 특징. 서울대학교에서 통년 선형대수학 교재로 I권은 거의 바이블처럼 자주 쓰이지만, 정작 이 책은 저자 외에는 잘 쓰지 않는듯. 안습.
  • 김응태&박승안, 현대대수학
    정수론 문서에 나오는 명망높은 교재의 저자 두 명이 쓴 책으로, 설명도 친절하고 예제도 많지만 원래는 앞에 와야 할 고급 군론과 마지막에 다루는 갈루아 이론의 순서가 서로 뒤바꼈다. 맨 뒤에 대수학에 큰 공헌을 한 수학자들 이야기가 실려있다. 수학과보다 수학교육과에서 많이 쓰이는 책이다.
  • J. Gallian. Contemporary Abstract Algebra
    다루는 내용은 일반적인 학부생 수준의 대수학 교재로 난이도는 프렐라이 교재보다 조금 어려운 수준, 상당량의 연습문제가 있고 특이하게도 컴퓨터 관련 연습문제들이 실려있는것이 특징이다. 그만큼 내용에 대한 심도있는 이해는 어느정도 넘기는 수준, 특히 갈루아 이론 부분은 증명을 아예 언급하지도 않는다. 코딩이론 부분도 특별하게 다루고 있는것을 보면. 순수수학도보다는 컴퓨터과학도들이 보기 좋은 책이다.

4.2.3. 대학원[편집]

이후에는 수학과석사 1년차에 이것들을 더욱 심화되게 배우는 "대수학"이 나오는데, 다루는 내용은 다음과 같다.

4.2.4. 교재[편집]

  • Lang, Algebra
    대학원 대수학 책의 마스터피스로, 대학원 대수학 강의의 판을 바꾸었다는 평을 들을 정도로 훌륭한 책이기도 하지만 무엇보다도 "대학원 대수학 강의실에 돌 날라오면 그 강의는 십중팔구 랭 책 쓰는 거다"라는 혹평을 들을 정도로 아스트랄하게 어려운 책이기도 하다. 문제가 어려운것도 그렇지만 첫 장부터 대수위상수학의 개념인 호몰로지등이 나오며, 정작 중요하고 기초적인 내용은 생략하거나 문제로 돌려놓기 일쑤라 옆에 학부대수, 선대, 위상, 대수위상등 여러 책을 끼고 열심히 공부하지 않으면 안된다. 보너스로 끝날때 쯤 튀어나와 힘겹게 공부해온 학생들을 분노의 정점에 치닫게 만드는 마지막 문제[7]는 이 책의 백미. 디시인사이드 수학갤러리에서 이 책을 쓰겠다 하면 사방에서 달려들어 뜯어말리며, 외국에선 그 보다 더해 랭 책에다 별별 테러를 하는 만화까지 만들어졌었다.[8] 하지만 끝내고 돌아보면 절묘하게 넣어진 고난도의 심화내용과 사람 빡공하게 만드는 구성등 이토록 체계적으로 만들어진 책도 없어서, 아직까지도 수많은 학교에서 이 책을 쓰고 있다.
  • Hungerford, Algebra
    위의 서지 랭의 책보단 친절하지만, 증명-증명-증명-증명....으로만 이루어진 정말 답답한 책. 공부용보다는 옆에 두고보는 레퍼런스용으로 유용하다. 또한 헝거포드를 주교재로 택하는 수업에서도 연습문제 풀이는 랭으로 하는경우가 많아 이 교재를 택했다고 랭의 마수를 피해갔다고 안심할수는 없다...
  • Dummit&Foote, Abstract Algebra
    학부에서 대학원까지 모두 친절히 설명되어 있으며, 문제도 풍부하다. 서지 랭이나 헝거포드보단 부족하지만 꿇리진 않는 책. 학부 내용부터 친절하게 설명돼 있기 때문에 몇몇 대학교에서 학부 대수학 강의때 주 교재로 사용한다.[9] 뒤에 별첨으로 가환대수, 대수기하, 카테고리 이론, 호몰로지 대수, 군표현론이 설명되어 있다.

5. 관련 문서[편집]

[1] 가장 기본적으로 사칙연산 이용.[2] 엄밀하게 말하면 al-jabr는 이항이고, wa'l-muqabala는 동류항 정리를 의미한다.[3] 이 숫자들은 13세기가 되어서야 유럽에 전파된다.[4] 쉽게 일반화가 가능한 것은 아니지만, 학부수준에서의 대수적 구조란 임의의 집합 위에 더해진 added structure 인 경우가 대부분이다[5] 초심자 입장에서 추상적일수록 어렵게 느껴지긴 하지만, 이쪽을 선호하는 교수들이 많아지면서 어쩔 수 없게 되었다.[6] 사실 세 개 모두를 증명하는 것은 아니고, 두 개만 일반적으로 보인다. 증명은 비교적 쉽다.[7] "호몰로지 대수 오로지 니 힘으로 직접 풀어 보셔. 아, 물론 솔루션도 보지말고 도움도 일절 받지마."[8] 현재는 사이트가 폐쇄되어 볼 수 없다.[9] 한국에선 KAIST, 포항공과대학교. 외국에선 프린스턴 대학교등.