모티브(대수기하학)

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1. 알못을 위한 소개2. 역사3. 개요

1. 알못을 위한 소개[편집]

Motive를 간단히 말하면 복소수 위 말고 다른 세계에서도 복소해석을 생각해보자다. 복소해석 하면 그 영역 생각하니가 극좌표 변환같은 이상한 거 말고 중요한 정리로 코시의 적분 정리가 있다. 코시의 적분 정리란 적분할 함수를 폐곡선으로 적분할 때 폐곡선 내부에 적분할 함수가 해석적(analytic)이라면 그 적분값은 0이라는 정리다. 이는 매우 중요한데, differential forms들과 closed curve 사이의 관계가 어떻게 되어 있는지 알려주기 때문이다. 그리고 이것을 de Rham theorem이라고 부른다. homology란 적분에 의해서 잘 변하는 closed curve의 모임, cohomology는 적분에 의해서 잘 변하는 differential forms들의 모임으로 불 수 있고 이 둘을 엮는 것이다. 그리고 이를 발전시킨 것이 바로 Hodge theory. 그리고 이것을 더 일반화 시킨 것이 motive다.

어째 여전히 수학과가 아니고서야 이해가 불가능한 것 같다

2. 역사[편집]

1960년대 etale cohomology가 만들어졌다. etale cohomology는 Weil conjecture라는 엄청난 가설을 풀 수 있는 열쇠로 여겨졌고 실제로 etale cohomology로 Weil conjecture는 풀리게 된다. 하지만 Grothendieck는 훨씬 더 거대한 것을 생각하게 되는데, Weil conjecture를 풀 수 있는 적당한 cohomology를 만들려고 노력한 것이 결국 복소수 위의 cohomology와 성질이 거의 같은 cohomology를 finite field 위에서 찾는 일과 같음을 깨달았기 때문에. 그렇게 해서 etale cohomology같은 cohomology를 어디에서든 찾을 수 있다는 것이 Grothendieck의 생각이었고, 그렇게 해서 motive라는 것을 생각하게 되었다.

3. 개요[편집]

그러면 이런 cohomology를 어떻게 만드는 걸까?? 먼저 우리가 원하는 cohomology가 어떤 성질을 가져야 하는지 생각해보자. kCk\subseteq \Bbb{C}를 field라고 하고 Vark \mathrm{Var}_{k}kk 위의 모든 smooth projective (not assurmed connected) variety라고 해보자. 그리고 E E를 아무 field (of characteristic 0)라고 하고 GrE\mathrm{Gr}_{E}EE 위의 category of finite dimensional graded EE-vector space라고 하자. 그렇다면 GrE \mathrm{Gr}_{E}엔 tensor product를 정의할 수 있는데,
(VW)n=i+j=nViWj (V \otimes W)_n=\bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_j
라고 정의되면 잘 정의된다. (이를 생각하는 이유는 cohomology ring때문이다. cohomology라면 당연히 cup product가 있어야 한다는 생각 때문에.)그렇다면 다음과 같은 성질은 어떨까. tensor functor H:VarkopGrE H^*:\mathrm{Var}_{k}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Gr}_{E}를 생각하자. (tensor functor라는 것은 곧 Kunneth formula를 뜻한다.) tensor product라면
KX,Y:H(X)H(Y)H(X×Y) K_{X,Y}:H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y)
를 생각할 수 있다.
Nomalization. <math>H2(P1) <math>H^2(\Bbb{P}^1)GrE\mathrm{Gr}_{E}에서 invertible이다. 이제 VGrEV\in \mathrm{Gr}_{E}라면
V(r)=VH2(P1)rV(r)=V\otimes H^2(\Bbb{P}^1)^{-\otimes r}
라고 정의하자.
Trace axiom. <math>X <math>X가 equidimension dd를 갖는다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 trace morphism
TrX:H2d(X)(d)E\mathrm{Tr}_{X}:H^{2d}(X)(d)\to E
가 있어서 다음 둘을 만족한다.
(a) KX,YK_{X,Y}에 의해서 TrX×Y=TrXTrY\mathrm{Tr}_{X\times Y}=\mathrm{Tr}_{X}\circ \mathrm{Tr}_{Y}다. 그러니까 dXd_XXX의 dimension이라면
H2d(X×Y)(dX+dY)KX,YH2d(X)(dX)EH2d(Y)(dY)idTrYEEH2d(Y)(dY)EH^{2d}(X\times Y)(d_X+d_Y)\overset{K_{X,Y}}{\longrightarrow}H^{2d}(X)(d_X)\otimes_{E} H^{2d}(Y)(d_Y)\overset{\mathrm{id}\otimes \mathrm{Tr}_{Y}}{\longrightarrow} E\otimes_{E}H^{2d}(Y)(d_Y)\longrightarrow E
와 그냥 TrX×Y\mathrm{Tr}_{X\times Y}로 가는 거와 같은 morphism이라는 것이다.
(b) 다음 morphism을 생각하자.
H(X)H(X)KX,XH(X)H(X)ΔH(X)H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{K_{X,X}}{\longrightarrow}H^*(X)\otimes H^*(X)\overset{\Delta^*}{\longrightarrow}H^*(X)
여기에서 Δ \Deltaxx(x,x)(x,x)로 보내는 morphism. 그리고 이 composition을 cup product라고 하자. 그러면
Hi(X)×H2di(X)(d)H2d(X)(d)E H^{i}(X)\times H^{2d-i}(X)(d)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E
라는 cup product와 trace morphism의 composition은 perfect pairing을 이룬다.
cycle class map. <math>Zr(X) <math>Z^r(X)를 codimension rr인 integral closed scheme ZXZ\hookrightarrow X들을 basis로 하는 Q\Bbb{Q}라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 cycle class map이 있다.
gamma^r_{X}:Z^r(X)longrightarrow H^{2r}(X)(r)
그리고 다음과 같은 좋은 성질들을 만족한다.
(a) γXr\gamma^r_{X}는 Chow group을 만든다. Chow group은 Zr(X)Z^r(X)을 rational equivalence로 나눈 것.
(b) γXr\gamma^r_{X}는 contravariant다. 그러니까
fγYr(Z)=γXr([f1Z]) f^*\gamma^r_{Y}(Z)=\gamma^{r}_{X}([f^{-1}Z])
가 된다. 여기에서 ff는 flat이어야 하는데, 그 이유는 [f1Z][f^{-1}Z]를 잘 정의해야 하니까. 아니면 equidimensional이란 성질이 깨저서 정의를 못 한다.
(c) αZr(X),βZs(Y)\alpha\in Z^r(X),\beta\in Z^s(Y)라면
γXr(α)×γYs(β)=γr+s(α×β) \gamma^r_{X}(\alpha)\times \gamma^s_Y(\beta)=\gamma^{r+s}(\alpha\times \beta)
가 된다. 이 때에도 α×β\alpha\times \beta가 언제나 integral scheme인 건 아니니까 reduced structure를 생각해야 한다.
(d)
Zd(X)H2d(X)(d)E Z^d(X)\longrightarrow H^{2d}(X)(d)\longrightarrow E
[Pi][P_i][k(Pi):k][k(P_i):k]로 보낸다.