벡터 공간

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
기본 대상
선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수
1. 정의2. 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism)3. 부분공간(subspace)
3.1. 부분공간의 생성원3.2. 불변부분공간(Invariant Subspace)3.3. 순환부분공간(Cyclic Subspace)
4. 벡터 공간의 합5. 직합(direct sum)6. 선형 독립(linearly independent), 기저(basis)와 차원(dimension)
6.1. 선형 독립(linearly independent)6.2. 기저(basis)
6.2.1. 기저의 존재성 증명
6.3. 차원(dimension)
7. 쌍대 공간(dual space)
7.1. 쌍대 기저(dual basis)7.2. 이중 쌍대 공간(double dual space)7.3. 텐서(Tensor)
8. 관련 항목

1. 정의[편집]

벡터 공간(vector space)은 위에서 정의된 가군이다.[1] 풀어쓰면, (field)[2] F F 에 대해, 집합 V V FF위의 벡터 공간(vector space)이라 함은, V V F F F F -가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이때, FFVV의 스칼라라고 한다.
  • (가환군) V V 위에 + + 가 정의[3]되어 있으며, (V,+) \left( V,+\right) 는 가환(abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
    임의의 u,v,wV u , v, w\in V 에 대하여
    • 덧셈에 대한 항등원 존재 : V V 에는 특정한 원소 0 0 이 존재하여 모든 vV v \in V 에 대하여 v+0=0+v=v v + 0 = 0 + v = v
    • 덧셈에 대한 역원 존재 : V V 의 임의의 원소 v v 에 대하여 v+u=u+v=0 v + u = u + v = 0 을 만족하는 uV u \in V 가 존재한다.
    • 교환법칙 성립 : u,vV\forall u, v\in V, u+v=v+u u + v = v + u
    • 결합법칙 성립 : u,v,wV\forall u, v, w\in V, (u+v)+w=u+(v+w) \left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right)
  • (스칼라 곱) 임의의 체 F에 대하여 연산 f:F×VV,f(a,v)=:av f:F\times V\rightarrow V, f(a, v)=:a\cdot v(스칼라 배)가 존재하고 임의의 a,bFa,b\in F, u,vVu, v\in V에 대해 다음이 성립한다.
    • a(u+v)=au+av a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v
    • (a+b)v=av+bv \left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v
    • (ab)v=a(bv) \left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right) [4]
    • 1v=v 1v=v
벡터공간 VV의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원 00을 영벡터(zero vector)라고 한다.[5]

즉, 위 조건들만 만족하면 벡터 공간이 되는 것이다. 따라서 우리가 주로 아는 좌표공간 이외에도, 위상공간에서 좌표 공간으로 가는 연속함수들의 집합[6]이나 다항식들의 집합[7]도 벡터 공간이 된다.

2. 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism)[편집]

벡터 공간의 준동형 사상은, 벡터 공간의 선형성을 보존하는 함수이다. 즉, 선형 변환이 벡터 공간의 준동형 사상이다. 자세한 것은 해당 문서 참조.

3. 부분공간(subspace)[편집]

벡터 공간 VV의 부분집합 WVW\subset V가 스칼라 곱과 덧셈, 역원에 대해 다시 닫혀있으면[8] WWVV부분공간(subspace)이라 하고, W<VW<V, WVW\leq V 등으로 표시한다. 다음을 쉽게 알 수 있다.
  • 임의의 αA\alpha\in A에 대해, Wα<VW_{\alpha}<V라 하자.[9] αWα<V{\displaystyle \bigcap_{\alpha}}W_{\alpha}<V다.
  • W1,W2,...,WnV W_{1}, W_{2}, ... , W_{n}\le V 이면, k=1nWkV\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V 이다. [10]

3.1. 부분공간의 생성원[편집]

XVX\subset V에 대해, XX를 포함하는 RR의 가장 작은(smallest) 부분공간을 XX가 생성하는 부분공간(subspace generated by XX)이라 하고, X\left\langle X\right\rangle 로 적는다. XXX\left\langle X\right\rangle의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……

이러한 부분환 X\left\langle X\right\rangle의 존재성과 유일성은 X=XWVW\left\langle X\right\rangle = \bigcap_{X \subset W \leq V} W 를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 이는 쉽게 보일 수 있다.

구체적으로는 다음과 같음을 알 수 있다.
X={i=1naivi:v1,,vnX,a1,,anF}\left\langle X\right\rangle=\left\{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}:v_{1},\ldots,v_{n}\in X,a_{1},\ldots,a_{n}\in F\right\}[11]
  • ={0}\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\}

3.2. 불변부분공간(Invariant Subspace)[편집]

3.3. 순환부분공간(Cyclic Subspace)[편집]

4. 벡터 공간의 합[편집]

벡터 공간 VV의 두 부분공간 W1,W2VW_{1}, W_{2}\subset V를 생각하자. W1+W2W_{1}+W_{2}W1+W2:=W1W2W_{1}+W_{2}:=\left\langle W_{1} \cup W_{2}\right\rangle로 정의되며, 구체적으로는 W1+W2={w1+w2:wiWi,i=1,2}W_{1}+W_{2}=\left\{ w_{1}+w_{2}:w_{i}\in W_{i}, i=1, 2\right\} 로 계산된다. 유한한 경우에 한해 합을 다루었지만, 무한한 벡터 공간의 합도 다룰 수 있다.

물론, W1+W2+...+WnW_{1}+W_{2}+...+W_{n}k=1nWkV\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V 로 표현한다.

5. 직합(direct sum)[편집]

벡터 공간 VV의 두 부분공간 W1,W2VW_{1}, W_{2}\leq VW1W2=W_{1}\cap W_{2}=\left\langle \emptyset\right\rangle이라 하자. 그러면, 임의의 w1W1w_{1}\in W_{1}, w2W2w_{2}\in W_{2}에 대해, w1+w2=0w_{1}+w_{2}=0이면, w1=w2=0w_{1}=w_{2}=0이다. 즉, W1W_{1}, W2W_{2}는 독립적이다. 이 점을 강조해주기 위해, W1W2W_{1}\bigoplus W_{2}, i=12Wi{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{2}}W_{i} 등과 같이 쓴다. 이를 직합(direct sum)이라 한다. 무한 개의 부분 공간들의 모임{Wα:αA}\left\{ W_{\alpha}:\alpha\in A\right\} 에 대해서도 마찬가지의 일을 할 수 있고, 이때 독립성 조건은, 임의의 βA\beta\in A에 대해 WβαβWα=W_{\beta}\cap{\displaystyle \sum_{\alpha\neq\beta}}W_{\alpha}=\left\langle \emptyset\right\rangle 인 것이다.

두 벡터 공간 VV, WW에 대해서도 직합을 정의할 수 있다. VW:={(v,w):vV,wW}V\bigoplus W:=\left\{ \left(v,w\right):v\in V,w\in W\right\} 라 정의해주고, 스칼라 배와 덧셈을 좌표별로(component wise) 정해준다. 무한 개의 벡터 공간들에 대해서도 비슷하다. 이 경우, V={(v,0):vV}<VWV=\left\{ \left(v,0\right):v\in V\right\}<V\bigoplus W와 같이 생각하여, VW=V\cap W=\left\langle \emptyset\right\rangle 라 할 수 있다. 즉, 이 정의도 앞서 설명한 관점에 잘 맞는다.[12] 두 부분공간 W1,W2VW_{1}, W_{2}\leq V의 경우로 돌아가 이야기하자면, W1+W2=(W1W2)/(W1W2)W_{1}+W_{2}=\left(W_{1}\bigoplus W_{2}\right)/\left(W_{1}\cap W_{2}\right)이다.[13]

6. 선형 독립(linearly independent), 기저(basis)와 차원(dimension)[편집]

선형대수의 핵심 개념 중 하나가 선형 독립(linearly independent)과 기저(basis)의 개념이다. 기저라는 부분집합만 갖고 벡터 공간 전체를 묘사할 수 있기 때문이다. 그리고 기저에 대해 어떻게 묘사하더라도, 그에 맞는 벡터 공간에 대한 묘사를 찾을 수 있다. 이것이 free object의 개념이고, 이는 가군은 갖지 못하는 벡터 공간만의 특징이다.

6.1. 선형 독립(linearly independent)[편집]

FF 위의 벡터 공간 VV와 그것의 부분집합 SVS\subset V가 다음을 만족하면, SS선형 독립(linearly independent)이라 한다. 그렇지 않은 경우, 선형 종속(linearly dependent)이라 한다.
임의의 서로 다른 v1,,vnSv_{1},\ldots,v_{n}\in S와 임의의 a1,,anFa_{1},\ldots,a_{n}\in F에 대해, i=1naivi=0{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}=0이면, a1==an=0a_{1}=\ldots=a_{n}=0이다.[14]
  • R2\mathbb{R}^{2}에서, {e1,e2}\left\{e_{1}, e_{2}\right\}는 선형 독립이지만, {e1,e1+e2,e2}\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}는 선형 독립이 아니다.

SVS\subset V의 선형 독립성이 중요한 이유는, SS가 선형 독립이면 벡터 공간VV의 모든 원소가 SS의 선형 결합으로 유일하게 표현되기 때문이다. SS가 선형 종속이면, VV의 원소에 대한 묘사가 유일하지 않을 수도 있다. 위에서 예로 든 {e1,e1+e2,e2}\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}의 경우, (3,2) (3, 2)3e1+2e2 3e_{1} + 2e_{2} 로 표현될 수도 있고, 3(e1+e2)e2 3(e_{1}+e_{2})-e_{2}로 표현될 수도 있다.

6.2. 기저(basis)[편집]

부분 집합 STVS\subset T\subset V를 생각하자. SSTT보다 선형 독립이기 쉬운 반면[15], SV\left\langle S\right\rangle \lneq V이기도 쉽다[16]. 한마디로, 집합이 작으면 선형독립이기 쉽고, 집합이 크면 VV 전체를 표현하기 쉽다.

예컨대 위에서 예로 든 R2\mathbb{R}^{2}에서, {e1} \left\{e_{1}\right\}는 작아서 선형독립이지만 너무 작아서 R2\mathbb{R}^{2} 전체를 표현하지 못하고[17], {e1,e1+e2,e2}\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}는 커서 R2\mathbb{R}^{2} 전체를 표현할 수 있지만 너무 커서 선형독립이지 않다.

이러한 관점에서, 집합의 크기에 따라 선형독립(즉, 유일한 표현)과 VV전체에 대한 표현의 여부가 달라진다고 볼 수 있다. 그렇다면, 두 조건(선형독립과 VV 전체에 대한 묘사)을 모두 만족하는 "적절한" 크기의 집합을 찾을 수 있을까? 만약 이러한 집합이 존재한다면, 그 적절한 크기의 집합을 기저(basis)라 부른다. 형식적인 정의는 다음과 같다.

부분 집합 BV\mathcal{B}\subset VVV기저(basis)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.
  • (선형 독립성) B\mathcal{B}는 선형 독립이다.
  • (생성성) B=V\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V

선택공리하에 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 좀 더 의미를 찾자면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다.
  • V=vBvV={\displaystyle \bigoplus_{v\in \mathcal{B}}}\left\langle v\right\rangle

6.2.1. 기저의 존재성 증명[편집]

선택공리와 동치인 초른의 보조정리(Zorn's lemma)[18]를 이용한다. VV의 선형독립인 부분집합 LL이 있다고 할 때, LL을 포함하면서 선형독립인 VV의 부분집합들을 모두 모은 집합을 PP라고 하자. 그리고 PP 위의 순서 관계 \leq를 포함 관계 \subset와 같도록 정의하자. 그러면 (P,)\left(P, \leq \right)는 부분순서 집합이 된다. 이때 PP의 임의의 사슬 C={Li:iI}C=\left\{L_i : i\in I\right\}에 대하여 Lmax=C\displaystyle L_{\text{max}}=\bigcup C를 생각하자.

LmaxL_{\text{max}}에서 임의로 유한 개의 원소 v1,v2,,vnv_1, v_2, \cdots, v_n을 뽑았을 때 CC가 포함 관계에 대하여 전순서 집합이기 때문에 {v1,v2,,vn}Li\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\subset L_iiIi\in I가 존재한다. 이때 LiL_i가 선형독립이므로 {v1,v2,,vn}\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}도 선형독립이다. 따라서 LmaxL_{\text{max}}는 선형독립이고, LL을 포함하는 것은 자명하므로 LmaxPL_{\text{max}}\in P이다.

이로부터 PP의 임의의 사슬의 상계가 PP에 존재함을 알 수 있고 초른의 보조정리에 의하여 부분순서 집합 (P,)\left(P, \leq \right)은 극대 원소를 갖는다. 그 원소를 BB라 하자. 일단 BB는 선형독립이다. 그런데 VBV\setminus \left\langle {B}\right\rangle \neq \emptyset이라면 VBV\setminus \left\langle B\right\rangle의 원소 ww를 뽑아 M:=B{w}M:=B\cup \left\{w\right\}이라 할 때 MM은 선형독립이고 LL을 포함하므로 MPM\in P이다. 그러면 BMB\leq M이고 BMB\neq M이므로 BB가 극대원소라는 데 모순이다. 따라서 VB=V\setminus \left\langle {B}\right\rangle = \emptyset이어야 하고, BBLL을 포함하면서 VV의 기저가 된다.

6.3. 차원(dimension)[편집]

벡터 공간의 기저의 크기를 차원(dimension)이라 부르고, dimFV\dim_{F}V라 적는다. 이것이 잘 정의되어있으려면(well-defined), 모든 벡터 공간은 기저를 가져야 하고, 주어진 벡터 공간의 기저들은 모두 같은 크기를 가져야 한다. 전자는 위에서 말한 대로 선택공리를 가정한다면 보일 수 있고, 후자도 쉽게 보일 수 있다.

차원은 스칼라를 어떻게 택하느냐에 따라 달라지기도 한다. 예를 들어, 복소수체는 실수체와 복소수체 모두의 벡터 공간이고, dimRC=21=dimCC\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\neq 1=\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C}이다.

갖은 스칼라 체를 갖는 두 벡터 공간이 동형적(isomophic)일 필요충분 조건은 차원이 같은 것이다. 동형이라면 차원이 같음은 자명하고, 차원이 같다면 두 벡터 공간의 기저 사이에 일대일 대응을 만든 후, 그 대응을 선형 변환으로 확장하면 된다. 이때 확장 가능성은 물론 기저의 선형 독립성과 생성성에 의해 보장된다.

7. 쌍대 공간(dual space)[편집]

FF를 스칼라로 갖는 벡터 공간 VV 위의 선형 범함수(linear functional)들의 모임, 즉 쌍대 공간(dual space) VV^{*}은 다음과 같이 정의되고, 이 또한 FF를 스칼라로 갖는 벡터 공간이고 만약 V의 차원이 유한하다면, dimFV=dimFV\dim_{F}V=\dim_{F}V^{*}이다. 따라서 VVV\cong V^{*}이다. 그러나 natural한 동형사상이 존재하는 것은 아니다.[19][20]
V:=L(V,F)V^{*}:=L\left(V,F\right)[21]

7.1. 쌍대 기저(dual basis)[편집]

VV 가 유한 차원인 경우, VV 의 기저 B={v1,...,vn}\mathcal{B} = \left\{ v_1, ..., v_n \right\} 를 알고 있다면 이로부터 VV^{*} 의 기저 B={φ1,...,φn}\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_1, ..., \varphi_n \right\} 를 구성할 수 있다. φi\varphi_i φi(vj)=δji=\varphi_{i} (v_j) = \delta_{j}^{i} = {1(i=j)0(ij)\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{cases} [22]를 만족하는 VV^{*} 의 원소라고 하자. 그러면 임의의 φ=c1φ1+...+cnφn\varphi = c_1 \varphi_1 + ... + c_n \varphi_n 에 대해 φ(vi)=ci\varphi (v_i) = c_i 이므로, fVf \in V^{*} 에 대해 ci=f(vi)c_i = f(v_i) 로 두면 f=φf = \varphi 이다. 즉, B\mathcal{B}^{*} VV^{*} 를 생성한다. 또한, c1φ1+...+cnφn=0c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n = 0 일 때 (c1φ1+...+cnφn)(vi)=ci=0F(c_1 \varphi_1 + ... + c_n\varphi_n) (v_i) = c_i = 0_F 이므로, B\mathcal{B}^{*} 는 선형 독립이다. 따라서, B\mathcal{B}^{*} VV^{*} 의 기저가 되며 이를 쌍대 기저(dual basis)라 부른다.

그렇다면, VV 가 무한차원인 경우는 어떨까? VV 의 기저 B={vi:iI}\mathcal{B} = \left\{ v_i : i \in I \right\} 를 생각해보자. 이때 index II VV 가 무한차원이므로 무한집합이다. 이제 VV^{*} 의 쌍대기저 B={φi:iI}\mathcal{B}^{*} = \left\{ \varphi_i : i \in I \right\} 를 위와 같이 정의하자. 만약 B\mathcal{B}^{*} VV^{*} 의 기저라면 VV^{*} 의 모든 원소는 B\mathcal{B}^{*} 의 유한한 부분집합에 의해 생성되어야 한다. 하지만 이는 불가능하다. 원소 φ\varphi 를 임의의 ii 에 대해 φ(vi)=1\varphi(v_i) = 1 이 되도록 잡고 이것이 B\mathcal{B}^{*} 에 의해 생성된다고 하자. 그러면 II 의 유한한 부분집합 JJ 가 있어서 {φj:jJ}\left\{ \varphi_j : j \in J \right\} φ\varphi 를 생성해야 한다. 즉, φ=jJcjφj\varphi = \sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} cjFc_j \in F 가 존재한다. 하지만 임의의 kJk \notin J 에 대해 jJcjφj(vk)=0\sum_{j \in J} {c_j \varphi_j} (v_k) = 0 이므로 모순이 일어난다. 즉, 무한 차원 공간에서는 쌍대 기저가 쌍대 공간의 기저가 될 수 없다.

7.2. 이중 쌍대 공간(double dual space)[편집]

VV^{*}도 벡터 공간이므로 이것의 쌍대 공간인 VV^{**}을 생각할 수 있다. 이를 VV이중 쌍대 공간(double dual space)이라 한다. 이 역시 VVVV\cong V^{*}\cong V^{**}에서, VVV\cong V^{**}이다. 이 동형성은 VVV\cong V^{*}와는 달리, natural하다.[23] ϕ:VV\phi:V^{**}\rightarrow Vϕ(f)(v)=f(v)\phi\left(f\right)\left(v\right)=f\left(v\right)라 정의하면, ϕ\phi가 동형이기 때문이다.

7.3. 텐서(Tensor)[편집]

쌍대 공간의 개념을 다중 선형 사상 공간의 개념으로 확장한 것. 텐서 문서 참조.

8. 관련 항목[편집]

[1] 책에 따라서는 나눗셈 환(division ring) 위의 가군이라고도 한다.[2] 아주 간단히 말해 사칙연산이 상식대로 성립하는 것.[3] u,vVu+vVu, v \in V \Rightarrow u + v \in V[4] 이 조건 때문에 aFa\in F, xVx\in V에 대해 axa\cdot xax ax로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼로 곱을 ax ax형태로 쓸 수 있다.[5] 이 내용이 생소한 사람들을 위해서 간단하게 말해주면 벡터스페이스에 대해서 한 학기 정도 배우게 되면 우리가 알고 있는 행렬이 사실 선형함수(y=ax와 같이 상수항이 없는 일차함수)와 같다는 것 그리고 왜 우리가 행렬 곱을 이상하게 정의하고 있는가에 대해서 알 수 있다 정도로 생각하면 편하다. 물론 그것보다 더 많은 일을 하지만...[6] 연속함수들을 더해도, 스칼라 배해도 연속함수이므로[7] 다항식들을 더해도, 스칼라 배해도 다항식이므로[8] 이 때, w1,w2W w_{1}, w_{2} \in W 이면 w1+w2Ww_{1} + w_{2} \in W 인 것과, wWw \in W 이고 aFa \in F 이면 awWaw \in W 인 것만 확인하면 된다.[9] 즉, {Wα}\left\{W_{\alpha}\right\}VV의 부분 공간들 중 일부를 모은 것이다. [10] 이 표기에 대해서는 밑의 "벡터공간의 합" 항목 참조[11] 즉, X\left\langle X\right\rangleX X의 원소들의 선형 결합들 전체의 집합이다[12] 정확히는 앞서 설명한 관점이 이 정의에 잘 맞는 것이다.[13] W1W2={(w,w):wW1W2}W_{1}\cap W_{2}=\left\{ \left(w,-w\right):w\in W_{1}\cap W_{2}\right\} 로 생각한다. [14] 이 정의에서, SS는 무한집합일 수도 있지만, 합하는 건 유한 개뿐이라는 것에 주목하여라.[15] 즉, T가 선형 독립이라면 S도 선형 독립이다.[16] 즉, .TV\left\langle T\right\rangle \lneq V이면 SV\left\langle S\right\rangle \lneq V이다.[17] (1,2)=e1+2e2 (1, 2) = e_{1}+2e_{2}를 표현하지 못한다[18] 부분순서 집합 (P,)\left(P, \leq \right)가 있다고 하자. 이때 (C,)\left(C, \leq \right)가 전순서 집합이 되는 PP의 임의의 부분집합 CC의 상계가 PP에 존재하면, ¬xP:Mx and xM\neg \exists x\in P :M\leq x \,\ \text{and} \,\ x\neq M을 만족하는 MPM\in P가 존재한다. 다시 말해 부분순서 집합 PP의 임의의 사슬이 PP에서 상계를 가지면 PP는 극대원소를 갖는다.[19] 이에 대해서는, 이중 쌍대공간을 설명할 것이다. [20] 자연스러운 동형사상이 존재하기 위해서는 공간 위에 대칭이중선형형식(symmetric bilinear form)이 주어져 있다면 저것을 통해 정의할 수 있다.[21] VV에서 FF로 가는 선형 변환들의 집합이다. FF 역시 자기 자신의 벡터 공간이 때문에, 선형 변환들의 모임 L(V,F)L\left(V,F\right)을 생각할 수 있다. [22] δji\delta_{j}^{i} 는 크로네커 델타(Kronecker Delta)라고도 부른다.[23] 이때 natural하다는 것의 의미는, 동형사상이 기저의 선택에 의존하지 않는다는 것이다. 일반적으로 차원이 같은 두 벡터 공간 사이의 동형사상은 기저를 먼저 잡은 후에 기저 사이에 일대일 대응을 만들지만, 이 경우에는 기저를 잡을 필요가 없다.[24] 벡터의 미분 연산이다.