상사(행렬)

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
기본 대상
선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수
1. 정의2. 의미3. 활용
3.1. 거듭제곱3.2. 선형 변환의 분해
4. 같이 보기

1. 정의[편집]

FF에 대해, nn차 정사각행렬 AA, BB상사(similar)[1]라는 것은 PGLn(F)P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)가 존재하여, A=PBP1A=PBP^{-1}임을 말한다. 이 경우, ABA\sim B라 표현한다.

2. 의미[편집]

PGLn(F)P\in \text{GL}_{n}\left(F\right)FnF^{n}의 기저 변환이다. 벡터공간 내의 같은 벡터라도 기저를 어떻게 잡느냐에 따라 해당 벡터를 표현하는 좌표가 달라지는데,[2] 이 때문에 같은 선형사상을 표현하는 행렬이라도 기준이 되는 기저가 무엇이냐에 따라 서로 다른 행렬이 될 수 있다. 이러한 두 행렬을 묶어 주는 관계가 바로 상사이다. 다시 말해, AA, BB가 나타내는 선형사상은 대응되는 기저만 다를 뿐 같은 사상이라는 것이다.

3. 활용[편집]

3.1. 거듭제곱[편집]

만약, 대각행렬[3] DD이 존재하여, A=PDP1A=PDP^{-1}라 하자. 그러면, Ak=P1DkP A^{k}=P^{-1}D^{k}P이고, DkD^{k}를 계산하는 것은, AkA^{k}를 직접 계산하는 것에 비해, 아주 쉽다. 그리고 이것이 대각화의 기본 목적이다. 그러나 대각화가 항상 가능한 것은 아닌데, 그럴지라도 "충분히 간단한"[4] BB에 대해, A=PBP1A=PBP^{-1}가 성립한다면 그것만으로도 족할 것이다. 이것을 극한까지 밀어붙인 것이 조르당 분해이다.

3.2. 선형 변환의 분해[편집]

선형 변환이, 서로 영향을 끼치지 않는 공간들로 분해될 수 있는 것인가는 아주 자연스러운 질문이다.[5] 또, 거듭제곱의 편의성도 이 질문의 하위 질문으로 이해될 수 있다. 그리고 이것에 대한 답변들로, cyclic decomposition, primary decomposition 등이 있다. primary decomposition는 계산의 편의성과는 거리가 먼 분해이다.

4. 같이 보기[편집]

[1] 행렬 A와 B가 서로 비슷하다는 뉘앙스이다.[2] 예를 들어, R3R^{3}에서 표준 기저를 기준으로 (1, 2, 3)으로 표현되는 벡터는 기저 (1,2,3),(4,5,6),(7,8,0){(1,2,3), (4,5,6), (7,8,0)}에서는 (1, 0, 0)이라는 다른 좌표로 표현된다.[3] 주대각선 밖의 원소가 모두 00인 행렬 [4] B=BiB=\bigoplus B_{i}로 표현된다면, Bk=BikB^{k}=\bigoplus B_{i}^{k}이기 때문에 더욱 좋을 것이다. 그리고 대각행렬이 근본적으로, D=diD=\bigoplus d_{i}이다. [5] V=WiV=\bigoplus W_{i}라면, 선형 변환 TTT=TWiT=\bigoplus \left.T\right|_{W_{i}}으로 표현될 것이다.