선형 변환

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
기본 대상
선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수

1. 정의2. 핵(kernel)과 상(image)3. 행렬과의 관계

1. 정의[편집]

선형 변환(Linear Transform)벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수로, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 선형사상(Linear Map) 또는 일차변환(First Order Transform)이라고 부르기도 한다. 스칼라가 FF로 같은 벡터 공간VV, WW에 대해, 흔히 VV에서 WW로 가는 선형 변환들의 모임을 L(V,W)L\left(V,W\right)라 표시한다.

f:VWf:V\rightarrow W가 선형 변환이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
  • (선형성(linearity)) 임의의 aFa\in F, u,vVu,v\in V에 대해, f(au+v)=af(u)+f(v)f\left(au+v\right)=af\left(u\right)+f\left(v\right)
달리는 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다.

R\mathbb{R}를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.
  • V=W=R2V=W=\mathbb{R}^{2}에 대해, f(x,y)=(5x+3y,7x2y)f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right)는 선형 변환이다.
  • V=W=R2V=W=\mathbb{R}^{2}에 대해, f(x,y)=(6x,5x)f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right)는 선형 변환이다.
  • V=W=R2V=W=\mathbb{R}^{2}에 대해, f(x,y)=(x2+siny,0)f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right)는 선형 변환이 아니다.
  • V=W=R2V=W=\mathbb{R}^{2}에 대해, f(x,y)=(0,0)f\left(x,y\right)=\left(0,0\right)는 선형 변환이다.
  • V=W=R2V=W=\mathbb{R}^{2}에 대해, f(x,y)=(x+1,x+5y+2)f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right)는 선형 변환이 아니다.
  • VV[0,1]\left[0,1\right]에서 R\mathbb{R}로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, R\mathbb{R}-벡터 공간이다. ϕ:VR\phi:V\rightarrow \mathbb{R}ϕ(f):=01f\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f라 하면 ϕ\phi는 선형 변환이다.
  • VVnn차 정사각 행렬의 모임이라 하면, R\mathbb{R}-벡터 공간이다. 주대각합 tr:VR\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R}은 선형 변환이다.
  • V=W=CV=W=\mathbb{C}, T(z):=zT\left(z\right):=\overline{z}라 정의하자. R\mathbb{R}, C\mathbb{C}위에서, VV, WW는 벡터 공간이다.[1]
    • R\mathbb{R}위에서, TT는 선형 변환이다.
    • C\mathbb{C}위에서, TT는 선형 변환이 아니다. iT(1)=ii=T(i1)iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right)이기 때문이다.

2. 핵(kernel)과 상(image)[편집]

벡터 공간VV, WWfL(V,W)f\in L\left(V,W\right)에 대해[2]
  • (핵(kernel)[3]) kerf:={vV:f(v)=0}\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\}
  • (핵 공간의 차원(nullity)) Null(f):=dimkerf\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f
  • (상(image)[4]) Imf:={f(v):vV}\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\}
  • (계수(차수; rank)) rank(f):=dimImf\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f
라 정의한다. 다음이 성립한다.
dimV=Null(f)+rank(f)\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right)

3. 행렬과의 관계[편집]

유한차원 벡터공간에서 유한차원 벡터공간으로 가는 선형 연산자는 행렬과 1-1 대응을 이룬다.[6] 따라서, 유한차원 벡터공간 사이의 선형 연산을 연구하고 싶다면, 행렬을 보는 것으로 충분하다. 이것이 행렬에 대해 정의되는 행렬식, 주대각합 등을 선형변환에 대해서도 정의할 수 있는 이유이다. 이를 선형대수학의 기본정리라 한다.

여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기전 기하와 벡터 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 행렬 부분과 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 엡실론 - 델타 논법 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다.

[1] 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.[2] 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다. [3] f가 행렬일 때에 한해, kernel을 영공간(null space)이라고 부르기도 한다.[4] f가 행렬일 때에 한해, image를 열공간(column space)이라고 부르기도 한다.[5] 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.[6] 벡터 공간에는 기저가 존재한다. 선형 변환이 주어지면, 그것을 기저에 맞춰 행렬로 표현할 수 있다. 행렬이 주어지면, 기저에 맞춰 그에 해당하는 선형 변환을 만드는 것은 더 쉽다.