선형대수학의 기본정리

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선형대수학의 대수적 구조
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벡터공간의 분해
벡터의 연산
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다중선형대수

1. 개요2. 내용3. 예시4. 증명
4.1. 선형성4.2. 전단사4.3. 두 대응 간의 역함수 관계4.4. 합성과 곱의 관계
5. 같이 보기

뭐지 암호문인가

1. 개요[편집]

F F 위의 벡터 공간 V,W V, W 와, 각각의 기저 B={v1,,vn} \mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n\right\} , C={w1,,wm}\mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\} , 그리고 선형 변환 L:VW L:V\rightarrow W가 주어져 있다고 하자.

그러면 v=i=1nciviV\displaystyle v = \sum_{i=1}^{n} {c_i v_i} \in V 가 있을 때, L(v)=L(i=1ncivi)=i=1nciL(vi)\displaystyle L(v) = L\left(\sum_{i=1}^{n} {c_i v_i}\right) = \sum_{i=1}^{n} {c_i L(v_i)} 가 된다. 그런데 L(v)W L(v) \in W이므로, L(v) L(v) C \mathfrak{C} 의 원소들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있고, 일차결합 계수를 이용한 좌표 [L(v)]C [L(v)]_{\mathfrak{C}} 를 생각할 수 있다. 좌표 함수 αC:WFm,w[w]C \alpha_\mathfrak{C} : W \rightarrow F^m, w \mapsto \left[w\right]_\mathfrak{C}는 선형 변환이므로 [L(v)]C=[i=1nciL(vi)]C=i=1nci[L(vi)]C\displaystyle [L(v)]_{\mathfrak{C}} = \left[\sum_{i=1}^{n} {c_i L(v_i)}\right]_{\mathfrak{C}} = \sum_{i=1}^{n} {c_i [L(v_i)]_\mathfrak{C}} 이다.

그런데 v=i=1ncivi\displaystyle v = \sum_{i=1}^{n} {c_i v_i} 에서 [v]B=[c1cn]T [v]_\mathfrak{B} = \begin{bmatrix} c_1 & \cdots & c_n \end{bmatrix}^{T} 이다. 그리고 [L]CB=[[L(v1)]C[L(vn)]C] [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = \begin{bmatrix} [L(v_1)]_\mathfrak{C} & \cdots & [L(v_n)]_\mathfrak{C} \end{bmatrix} 라고 했을 때, [L(v)]C=[[L(v1)]C[L(vn)]C][c1cn]T=[L]CB[v]B [L(v)]_{\mathfrak{C}} = \begin{bmatrix} [L(v_1)]_\mathfrak{C} & \cdots & [L(v_n)]_\mathfrak{C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 & \cdots & c_n \end{bmatrix}^{T} = [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} [v]_{\mathfrak{B}} 가 성립한다. 즉, [L(v)]C [L(v)]_{\mathfrak{C}} 를 행렬 곱의 형태로 나타낼 수 있는 것이다.

이제 반대 상황을 생각해보자. 선형 변환 L:VW L:V\rightarrow WvV v \in V가 주어져 있을 때, αC:WFm \alpha_\mathfrak{C} : W \rightarrow F^m는 동형 사상이므로 L(v)L(v)[L(v)]C[L(v)]_\mathfrak{C} 는 일대일로 대응된다. 그렇다면 L(v)L(v) 대신 [L(v)]C[L(v)]_\mathfrak{C} 를 묘사하는 것 만으로 LL 을 완벽히 묘사할 수 있다. 그렇다면 임의의 행렬 AFm×n A \in F^{m\times n} 가 주어져있을 때, 함수 LA:VW L_A : V \rightarrow W [1][LA(v)]C=A[v]B [L_A (v)]_\mathfrak{C} = A[v]_\mathfrak{B} 를 만족하는 것으로 정의하면 이런 함수 LAL_A 는 유일하게 결정된다. 이때 LA L_AA A에 대응되는 선형 변환이라고 할 수 있다.

이를 요약하면, 선형 변환 L:VW L:V\rightarrow W는 행렬 [L]CB [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 에 대응되고, 행렬 AFm×n A \in F^{m\times n} 는 선형 변환 LA:VW L_A : V \rightarrow W 에 대응된다. 즉, 유한 차원 벡터 공간에서는 기저가 주어져 있을 때 선형 변환과 행렬을 일대일 대응시킬 수 있다. 또한 이러한 일대일 대응을 통해 선형 변환의 공간 L(V,W) \mathcal{L}(V, W) 와 행렬의 공간 Fm×n F^{m\times n} 사이에 동형 사상을 줄 수 있다.

2. 내용[편집]

F F 위의 유한 차원 벡터 공간 V,W V, W 과 그 기저 B={v1,,vn} \mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n\right\} , C={w1,,wm}\mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\} 가 주어져 있다고 하자. 그러면 함수 ΦCB:Fm×nL(V,W) \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} : F^{m\times n} \rightarrow \mathcal{L}(V, W) ΨCB:L(V,W)Fm×n \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} : \mathcal{L}(V, W) \rightarrow F^{m\times n} ΦCB(A)=LA\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) = L_A[2], ΨCB(L)=[L]CB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) = [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 로 정의할 때, ΦCB\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}ΨCB\mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}는 동형 사상이고 ΦCB=(ΨCB)1\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = \left(\mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}\right)^{-1} 이다.

또한, 유한 차원 벡터 공간 U U 와 그 기저 D={u1,,ur} \mathcal{D} = \left\{ u_1, \cdots, u_r\right\} 를 추가로 생각하면 임의의 AFm×n A \in F^{m \times n} , BFr×m B \in F^{r \times m} 에 대해 LBA=LBLA L_{BA} = L_B \circ L_A[3]가 성립하고, 임의의 LL(V,W) L \in \mathcal{L} (V, W) ML(W,U) M \in \mathcal{L} (W, U) 에 대해 [ML]DB=[M]DC[L]CB [M \circ L]_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{B}} = [M]_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}} [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 성립한다[4].

3. 예시[편집]

먼저 선형사상에 대응되는 행렬의 예시를 살펴보자. C=[1201] C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} , T(A)=CAATT(A) = CA - A^T 로 정의되는 선형 사상 T:R2×2R2×2 T : \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2} 를 생각하자. 그러면 기저 E={[1000],[0100],[0010],[0001]}={E11,E12,E21,E22} \mathcal{E} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right\} = \left\{ E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22} \right\}F={E11,E21,E12,E22} \mathcal{F} = \left\{ E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22} \right\} 에 대해 [T(E11)]F=[[0000]]F=[0000] [T(E_{11})]_{\mathcal{F}} = \left[ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , [T(E12)]F=[[0110]]F=[0110] [T(E_{12})]_{\mathcal{F}} = \left[ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \right]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , [T(E21)]F=[[2110]]F=[2110] [T(E_{21})]_{\mathcal{F}} = \left[ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} , [T(E22)]F=[[0200]]F=[0020] [T(E_{22})]_{\mathcal{F}} = \left[ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right]_{\mathcal{F}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} 이므로 [T]FE=[[T(E11)]F[T(E12)]F[T(E21)]F[T(E22)]F]=[0020011001120000] [T]_{\mathcal{F}}^{\mathcal{E}} = \begin{bmatrix} [T(E_{11})]_{\mathcal{F}} & [T(E_{12})]_{\mathcal{F}} & [T(E_{21})]_{\mathcal{F}} & [T(E_{22})]_{\mathcal{F}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 이다.

이번엔 행렬에 의해 결정되는 선형사상의 예시를 살펴보자. D=[201112021] D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} 로 주고 P2(R) P_{2}(\mathbb{R}) 에서의 기저 B={1,x,x2} \mathfrak{B} = \left\{ 1, x, x^2 \right\} , C={x2,x,1} \mathfrak{C} = \left\{ x^2, x, 1 \right\} 를 생각하자. 그러면 D D 에 의해 결정되는 선형사상 ΦCB(D):P2(R)P2(R) \Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) : P_{2} (\mathbb{R}) \rightarrow P_{2} (\mathbb{R}) [5][ΦCB(D)(1)]C=D[1]B=[210] \left[ \Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (1) \right]_\mathfrak{C} = D[1]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , [ΦCB(D)(x)]C=D[x]B=[012] \left[ \Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (x) \right]_\mathfrak{C} = D[x]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} , [ΦCB(D)(x2)]C=D[x2]B=[121] \left[ \Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (x^2) \right]_\mathfrak{C} = D[x^2]_\mathcal{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} 이므로 ΦCB(D)(1)=2x2+x\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (1) = 2x^2 + x , ΦCB(D)(x)=x+2\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (x) = x + 2 , ΦCB(D)(x2)=x2+2x+1\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (x^2) = x^2 + 2x + 1 을 만족한다. 따라서 ΦCB(D)(ax2+bx+c)=a(x2+2x+1)+b(x+2)+c(2x2+x)=(a+2c)x2+(2a+b+c)x+(a+2b)\Phi_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (D) (ax^2+bx+c) = a(x^2+2x+1) + b(x+2) + c(2x^2+x) = (a+2c)x^2 + (2a+b+c)x + (a+2b) 이다.

4. 증명[편집]

4.1. 선형성[편집]

임의의 i{1,,n}\displaystyle i \in \left\{ 1, \cdots, n \right\} L,ML(V,W) L, M \in \mathcal{L} (V, W)에 대해 (L+M)(vi)=L(vi)+M(vi) (L+M)(v_i) = L(v_i) + M(v_i) 이므로 [(L+M)(vi)]C=[L(vi)]C+[M(vi)]C\displaystyle [(L+M)(v_i)]_\mathfrak{C} = [L(v_i)]_\mathfrak{C} + [M(v_i)]_\mathfrak{C} 가 되어 [L+M]CB\displaystyle [L+M]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} i i 번째 열은 [L]CB[L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} i i 번째 열과 [M]CB[M]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} i i 번째 열의 합이다. 따라서, [L+M]CB=[L]CB+[M]CB\displaystyle [L+M]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} + [M]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 되어 ΨCB(L+M)=ΨCB(L)+ΨCB(M)\displaystyle \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L+M) = \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) + \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (M) 이다. 또한, 임의의 cF c \in F 에 대해 [(cL)(vi)]C=c[L(vi)]C\displaystyle [(cL)(v_i)]_\mathfrak{C} = c[L(v_i)]_\mathfrak{C} 이므로 [cL]CB=c[L]CB [cL]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = c[L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 되어 ΨCB(cL)=cΨCB(L)\displaystyle \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (cL) = c \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) 이다. 즉, ΨCB\displaystyle \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 선형 변환이다.

또한, 임의의 A,BFm×n A, B \in F^{m \times n} vV v \in V 에 대해 [LA+B(v)]C=(A+B)[v]B=A[v]B+B[v]B=[LA(v)]C+[LB(v)]C\displaystyle [L_{A+B} (v)]_\mathfrak{C} = (A+B)[v]_\mathfrak{B} = A[v]_\mathfrak{B} + B[v]_\mathfrak{B} = [L_{A} (v)]_\mathfrak{C} + [L_{B} (v)]_\mathfrak{C} 이므로 LA+B(v)=LA(v)+LB(v)L_{A+B}(v) = L_{A}(v) + L_{B}(v) 가 되어 LA+B=LA+LB L_{A+B} = L_{A} + L_{B}이다. 즉, ΦCB(A+B)=ΦCB(A)+ΦCB(B)\displaystyle \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A+B) = \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) + \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (B) 이다. 그리고 임의의 cF c \in F 에 대해 [LcA(v)]C=(cA)[v]B=c[LA(v)]C [L_{cA} (v)]_\mathfrak{C} = (cA)[v]_\mathfrak{B} = c[L_{A}(v)]_\mathfrak{C} 이므로 LcA(v)=cLA(v) L_{cA} (v) = cL_{A}(v) 가 되어 LcA=cLA L_{cA} = cL_A 이다. 즉, ΦCB(cA)=cΦCB(A) \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (cA) = c \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A)이다. 따라서 ΦCB \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 선형 변환이다.

4.2. 전단사[편집]

우선 ΨCB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 전단사임을 확인하자. 이를 위해 ΨCB(L)=ΨCB(M)\displaystyle \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}(L)=\mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}(M) L,ML(V,W) L, M \in \mathcal{L} (V, W) 가 있다고 가정하자. 그러면 임의의 i{1,,n} i \in \left\{1, \cdots, n\right\} 에 대해 [L]CB [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}}[M]CB [M]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} i i 번째 열이 같으므로 [L(vi)]C=[M(vi)]C [L(v_i)]_{\mathfrak{C}} = [M(v_i)]_{\mathfrak{C}} 에서 L(vi)=M(vi) L(v_i) = M(v_i) 이다. 그런데 임의의 vV v \in V 를 택하면 B \mathfrak{B} V V 의 기저이므로 v=i=1ncivi v = \sum_{i=1}^{n} {c_i v_i} c1,,cnF c_1, \cdots, c_n \in F가 존재한다. 따라서 L(v)=L(i=1ncivi)=i=1nciL(vi)=i=1nciM(vi)=M(i=1ncivi)=M(v)\displaystyle L(v) = L\left(\sum_{i=1}^{n} { c_i v_i} \right) = \sum_{i=1}^{n} {c_i L(v_i)} = \sum_{i=1}^{n} {c_i M(v_i)} = M\left(\sum_{i=1}^{n} {c_i v_i} \right) = M(v) 이다. 즉, L=M L = M 이며, 따라서 ΨCB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 단사이다. 이제 ΨCB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 전사임을 보이기 위해서 임의의 AFm×n A \in F^{m\times n} 를 택하자. A A i i 번째 열을 [A]i [A]^i 로 표기하고 선형 변환 LL(V,W) L \in \mathcal{L} (V, W) [L(vi)]C=[A]i [L(v_i)]_\mathfrak{C} = [A]^i 로 주면[6], [L]CB [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} i i 번째 열이 [A]i [A]^i 인 행렬이므로 [L]CB=A [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = A 이다. 따라서 ΨCB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 전사이다.

이제 ΦCB \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 전단사임을 보이자. 이를 위해 ΦCB(A)=ΦCB(B)\displaystyle \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) = \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (B) A,BFm×n A, B \in F^{m\times n} 가 있다고 가정하자. 그러면 임의의 i{1,,n} i \in \left\{ 1, \cdots, n \right\} 에 대해 [LA(vi)]C=A[vi]B=Aei=[A]i [L_{A} (v_i)]_\mathfrak{C} = A[v_i]_\mathfrak{B} = A e_i = [A]^i [7]이고 마찬가지로 [LB(vi)]C=[B]i [L_{B} (v_i)]_\mathfrak{C} = [B]^i 이므로 A A B B 는 각각의 열이 같은 행렬이다. 즉, A=B A=B 이다. 따라서 ΦCB \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 단사이다. 이제 ΦCB \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 가 전사임을 보이기 위해 임의의 LL(V,W) L \in \mathcal{L} (V, W) 를 택하자. 그리고 행렬 A A A=[[L(v1)]C[L(vn)]C] A = \begin{bmatrix} [L(v_1)]_\mathfrak{C} & \cdots & [L(v_n)]_\mathfrak{C} \end{bmatrix} 로 주면 [LA(vi)]C=A[vi]B=Aei=[A]i=[L(vi)]C [L_{A} (v_i)]_\mathfrak{C} = A[v_i]_\mathfrak{B} = A e_i = [A]^i = [L(v_i)]_\mathfrak{C} 이므로 LA(vi)=L(vi) L_{A} (v_i) = L (v_i) 이다. 따라서 위에서 보인 것과 마찬가지의 방법으로 LA=L L_A = L 임을 보일 수 있다. 그러므로 ΦCB \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 는 전사이다.

4.3. 두 대응 간의 역함수 관계[편집]

임의의 LL(V,W) L \in \mathcal{L} (V, W) vV v \in V 를 택하자. 그러면 [ΦCBΨCB(L)(v)]C=[ΦCB([L]CB)(v)]C=[L]CB[v]B=[L(v)]C\displaystyle [\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) (v)]_\mathfrak{C} = [\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} ([L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} ) (v)]_\mathfrak{C} = [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} [v]_\mathfrak{B} = [L(v)]_\mathfrak{C} 이므로 ΦCBΨCB(L)=L \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (L) = L 이다. 따라서 ΦCBΨCB=idL(V,W)\displaystyle \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = id_{\mathcal{L} (V, W)} 이다.

반대 방향을 보이기 위해 임의의 AFm×n A \in F^{m\times n} 를 택하자. 그러면 ΨCBΦCB(A) \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) i i 번째 열은 [ΦCB(A)(vi)]C=A[vi]B=Aei=[A]i [ \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) (v_i) ]_\mathfrak{C} = A[v_i]_\mathfrak{B} = A e_i = [A]^i 이다. 즉, ΨCBΦCB(A) \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) A A 는 각각의 열이 같은 행렬이므로 같은 행렬이다. 따라서 ΨCBΦCB=idFm×n \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} \circ \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} = id_{F^{m \times n}} 이다.

4.4. 합성과 곱의 관계[편집]

임의의 LL(V,W) L \in \mathcal{L} (V, W) ML(W,U) M \in \mathcal{L} (W, U) 를 택하고 P=[L]CB P = [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} , Q=[M]DC Q = [M]_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{C}} 라고 하자. P=(aij)m×n P = \left(a_{ij} \right)_{m\times n} 라고 하면, 임의의 k{1,,n} k \in \left\{1, \cdots, n\right\} 에 대해 Q[P]k=i=1maik[Q]i=i=1maik[M(wi)]D=[i=1maikM(wi)]D=[M(i=1maikwi)]D=[M(L(vk))]DQ[P]^k = \sum_{i=1}^{m} {a_{ik} [Q]^i} = \sum_{i=1}^{m} {a_{ik} [M(w_i)]_\mathcal{D} } = [ \sum_{i=1}^{m} {a_{ik} M(w_i) ]_\mathcal{D}} = [ M( \sum_{i=1}^{m} { a_{ik} w_i } ) ]_\mathcal{D} = [M(L(v_k))]_\mathcal{D} 이다. 따라서 QP QP k k 번째 열은 [(ML)(vk)]D [(M \circ L) (v_k)]_\mathcal{D} 이다. 즉, QP QP [ML]DB [M \circ L]_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{B}} 는 모든 열이 같으므로 같은 행렬이다. 결국 [ML]DB=[M]DC[L]CB [M \circ L]_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{B}} = [M]_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{C}} [L]_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} 이다.

이제 후자를 증명하기 위해서 임의의 AFm×n A \in F^{m \times n} BFr×m B \in F^{r \times m} , vV v \in V 를 택하자. 그러면 [LBA(v)]D=BA[v]B=B[LA(v)]C=[LB(LA(v))]D [L_{BA} (v)]_\mathcal{D} = BA[v]_\mathfrak{B} =B[L_{A} (v)]_\mathfrak{C} = [L_B ( L_A (v) ) ]_\mathcal{D} 이므로 LBA(v)=(LBLA)(v) L_{BA}(v) = (L_{B} \circ L_{A}) (v) 가 성립해 LBA=LBLA L_{BA} = L_{B} \circ L_{A} 이다.

5. 같이 보기[편집]

[1] 사실 기저를 명시적으로 드러내고 있지 못하므로 문제가 있는 표기지만 가독성을 고려해 이 표현을 사용하였다. 엄밀하게는 아래의 ΦCB(A)\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A)를 사용해야 한다.[2] 엄밀하게는 [ΦCB(A)(v)]C=A[v]B[\mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A)(v)]_\mathfrak{C} = A[v]_\mathfrak{B} [3] 직관적으로 파악할 수 있으므로 큰 문제는 없지만, 굳이 말하자면 LBA=ΦDB(BA) L_{BA} = \mathsf{\Phi}_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{B}} (BA) , LB=ΦDC(B) L_B = \mathsf{\Phi}_{\mathcal{D}}^{\mathfrak{C}}(B), LA=ΦCB(A) L_A = \mathsf{\Phi}_{\mathfrak{C}}^{\mathfrak{B}} (A) 를 의미한다.[4] 이 관계는 Ψ \mathsf{\Psi} 들이 일종의 대수 준동형 사상 비슷한 것임을 의미한다. 사실, V=W V = W 라면 실제로 ΨBB \mathsf{\Psi}_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{B}} 가 대수 동형 사상이 되며 (L(V,V),+,,)(Fn×n,+,,×) (\mathcal{L} (V, V), +, \cdot, \circ) \cong (F^{n \times n}, +, \cdot, \times) 이다.[5] 간단히는 LD L_D [6] 선형 변환의 선형성에 의해 선형 변환을 정의하는 것은 기저에서의 값을 정의하는 것만으로도 충분하다. 또한 개요에서 말했듯 선형 변환의 정의는 좌표 값에서의 정의만으로 충분하다.[7] 단, {e1,,en} \left\{ e_1, \cdots, e_n \right\} Fn F^n 의 표준 기저