스킴(대수기하학)

에 마지막으로 수정됐습니다.

1. 소개2. 층들 (Sheaves)3. 스킴들 (Schemes)4. 점들을 모은 함자 (Functor of points)5. 스킴의 더 많은 성질들 (More properties on category of schemes)6. 사영 스킴 (Projective spaces)7. 스킴 위 스킴 (Scheme over a scheme)8. 층의 더 많은 성질들 (More on sheaves)9. 평탄 사상 (Flat morphism)10. 유한 사상 (finite morphism)11. 부드러운 사상과 에탈 사상 (smooth morphism and étale morphism)
11.1. 캘러 미분과 공접 사슬 (Kähler differential and cotangent complex)11.2. 형식 사상들 (formal morphisms)11.3. 유한 에탈 사상 (finite étale morphism)11.4. 갈루아 이론 (Galois theory)
12. 코호몰로지의 기초 (Element of cohomology)13. 사영 스킴에서의 코호몰로지 (Cohomology on projective schemes)

1. 소개[편집]

스킴이란 대수기하학에 나오는 용어로 아주 간단하게 말하면 "ring들의 Zariski gluing"이라고 볼 수 있다.
처음에 알렉산더 그로텐디크가 소개한 개념이다. 그 후 이 개념은 유명한 개념이 되었으며 보통 대학교에선 대수기하학에서 이 개념을 가르친다.

2. 층들 (Sheaves)[편집]

먼저 scheme을 정의하기 전에 sheaf를 정의하자. 여기에서 C\mathcal{C}를 finite limit가 있는 아무 category라고 하자. 예를 들면 C=Set,Ab,Ring\mathcal{C}=\mathrm{Set},\mathrm{Ab},\mathrm{Ring}같이.

Definition. topological space XX에 대해서 functor F:Open(X)opC \mathcal{F}:\mathrm{Open}(X)^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}XXpresheaf라고 하자. 여기에서 Open(X)\mathrm{Open}(X)는 object를 XX의 open set으로, morphism을 \subseteq로 가지는 category라고 하자. 그러면 이는 U×XV=UVU\times_X V=U\cap V가 성립한다.

presheaf란 건 별거 아니다. 그냥 XX의 각 open set들마다 C\mathcal{C}의 object를 하나씩 준 것에 불과하다. 물론 포함관계는 제대로 맞도록. 여기에서 op\mathrm{op}를 뺀다면 이를 precosheaf라고 한다.
presheaf의 예를 들면 X=RX=\mathbb{R}라고 할 때 F(U)={Ring of bounded functions on U}\mathcal{F}(U)=\{\text{Ring of bounded functions on }U\}라고 하자. 그렇다면 VUV\subseteq U라면 F(U)F(V)\mathcal{F}(U)\subseteq \mathcal{F}(V)가 되므로 이는 presheaf가 된다.

그렇다면 sheaf는 뭘까?? 우리의 직관대로라면 open set의 연산대로 거기에 딸린 object들도 거기에 맞춰서 행동하도록 만들고 싶다. 예를 들면 UV=U\cap V=\varnothing이라면 이렇게
F(UV)=F(U)×F(V)\mathcal{F}(U \cup V)=\mathcal{F}(U)\times \mathcal{F}(V)
직관적으로 X=RX=\mathbb{R}이라고 한다면 UVU\cup V 위의 함수들은 UU 위의 함수들과 VV 위의 함수들로 분리되지 않는가??

우리는 XX의 covering {Ui}\{U_i\}를 생각해보자. 그렇다면 F(X)\mathcal{F}(X)의 정보는 F(Ui)\mathcal{F}(U_i)들의 정보에 의해서 결정되어야 한다. 예를 들면 ρUiX(f)=fUi\rho_{U_i\to X}(f)=f|_{U_i}UiXU_i\to X에 대응되는 morphism F(X)F(Ui)\mathcal{F}(X)\to \mathcal{F}(U_i)라고 하면
Axiom 1 fF(X)f\in \mathcal{F}(X)00일 필요충분조건은 fUiF(Ui)=0f|_{U_i}\in \mathcal{F}(U_i)=0인 것이다.
이렇게. 그리고 다음 조건도 추가하자.
Axiom 2 fiF(Ui)f_i\in \mathcal{F}(U_i)들이 있을 때 fiUiUj=fjUiUjf_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}라면 적당한 fF(X)f\in \mathcal{F}(X)가 있어서 fUi=fif|_{U_i}=f_i가 된다.
Axiom 2의 ff는 axiom 1에 의해서 유일성이 보장된다. 그리고 이 두 가지를 만족하는 F\mathcal{F}sheaf라고 하자. 그리고 두 axiom을 모아서 local-global compatibility라고 한다. 그러니까 sheaf는 local property가 global property를 결정하는 무언가다.

그렇다면 presheaf로 sheaf를 만들 수 있을까?? 그러니까 presheaf는 local property와 global property를 모두 가지는데, 문제는 global property하고 local property가 완전히 따로 논다는 것이다. 그래서 쓸데없는 global property를 깔끔히 버리고 local property로 global property를 다시 만드는 것이다. 이런 작업을 sheafification이라고 부른다. 우리는 다음과 같은 notation을 만들자.

Notation presheaf 사이 morphism (그냥 natural transformation이다.) FG\mathcal{F}\to \mathcal{G}가 있다고 하자. 그렇다면 이것이 isomorphism of locallity이란 것은 적당한 XX의 covering {Ui}\{U_i\}가 있어서 각 ii마다 VUiV\subseteq U_i가 있다면 이걸로 induce되는 F(V)G(V)\mathcal{F}(V)\to \mathcal{G}(V)가 isomorphism인 것이다.

이제 XX의 모든 presheaf들의 category를 PShC(X)\mathrm{PSh}_{\mathcal{C}}(X)라고 하자. 여기에서 morphism은 natural transformation이다. 그렇다면 모든 isomorphism of locallity들의 class에 대해서 이 category를 localize한 것을 바로 category of sheaves라고 하고 ShC(X)\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)라고 쓴다. 그리고 이것은 신기하게도 그냥 sheaf들을 모은 것들의 category와 equivalent하다!!
여기에서 set-theoretic issue가 발생하는데, 바로 isomorphism of locality가 set이 아니라면 category of sheaves는 locally small category가 될 수 없고 이는 많이 심각한 문제다. 이를 우리는 C\mathcal{C}를 언제나 small이라고 가정하고 inaccessible cardinal의 존재를 가정하는 것으로 해결할 것이다. inaccessible cardinal의 존재성이 ZFC로 증명될 수 있다면 이 cardinal에 대한 Von Neumann universe를 ZFC의 model로 만드므로 ZFC가 consistent하게 만들고 이는 Gödel incompleteness theorem때문에 저 cardinal의 존재성은 ZFC와 독립일 수밖에 없다. 따라서 이 cardinal의 존재성을 가정하는 것이 껄끄러울 수 있는데, 그냥 우리는 ZFC에다가 저 cardinal의 존재성을 가정한 새로운 공리계를 받아들이자. (...) 그러면 모든 category의 object들을 모은 것의 크기가 inaccessible cardinal보다 작단 가정으로 우리는 (아마도 집합론을 제외한) 우리의 수학을 잘 할 수 있다.
그렇다면 당연히 ShC(X)PShC(X)\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\longrightarrow \mathrm{PSh}_{\mathcal{C}}(X)라는 functor가 있을 것이다. 그럼 이건 left adjoint가 존재하고 이를 sheafification이라고 부른다!! 여기선 Hartshorne의 notation을 따라서 Fa\mathcal{F}^a라고 쓰자.

그렇다면 한 가지 예제를 봐보자. exp\mathrm{exp}를 복소지수함수라고 하고 O\mathcal{O}를 holomorphic function들, A(U)={eff:UC is a holomorphic function }\mathcal{A}(U)=\{e^f|f:U\to \mathbb{C}\text{ is a holomorphic function }\}이라고 정의하자. 그렇다면 다음과 같은 exact sequece가 존재한다.
02πiZOexpA0 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}\longrightarrow_{\mathrm{exp}}\mathcal{A}\to 0
여기에서 2πiZ2\pi i \mathbb{Z}는 모든 open set에 대해서 2πiZ2\pi i \mathbb{Z}란 값을 내놓는 constant sheaf다.
이제 O\mathcal{O}는 sheaf다. 바로 analytic continuation에 의해서. 하지만 문제가 있는데, 바로 A\mathcal{A}가 sheaf가 아니다!! 그 이유는 로그함수에 있는데, branch cut만 잘 잡으면 00을 포함하지 않는 simply connected domain은 모두 로그함수를 정의할 수 있지만 문제는 로그함수가 C{0}\mathbb{C}\setminus \{0\}에서 holomorphic이 아니다. 한 바퀴 삥 돌리면 2πi2\pi i 만큼 차이나니까.
그러면 어떻게 할까?? 바로 sheafification을 생각하는 것이다!! sheafification은 right adjoint를 가지니까 exact sequence를 보존하고 A\mathcal{A}의 sheafification은 local하게만 보면 disk 안의 모든 nonzero holomorphic function은 로그를 씌울 수 있으니까
Aa(U)=O(U)={f:UCf is a nonvanishing function }\mathcal{A}^a(U)=\mathcal{O}^*(U)=\{f:U\to \mathbb{C}|f\text{ is a nonvanishing function }\}
이 된다. 따라서 이렇게이렇게
02πiZOO00\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}\longrightarrow \mathcal{O}^*\to 0
잘 exact sequence를 만들 수 있다. 그렇다면 여기에서 바로 다음이 derive될 것 같다.
02πiZO(C{0})O(C{0})0 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}(\mathbb{C}\setminus \{0\})\longrightarrow \mathcal{O}^*(\mathcal{C}\setminus \{0\})\to 0
먼저 첫번째 injection 부분과 가운데는 맞다. 그런데 마지막 surjection부분은 틀렸다. (!!)
.......왜?!??!!!?!!!?!!!
이유는 sheafification을 하는 과정에서 이상한 function이 만들어지기 때문이다. 바로 f(z)=zf(z)=z같은. 이게 이상한 함수라는 건 뭔가 이상하지만 어쨌든 여기에선 이상한 함수 맞다.

그렇게, 우리는 다음 functor를 정의할 수 있다.
Γ(X,):ShC(X)C\Gamma(X,-):\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\to \mathcal{C}
Γ(X,F)=F(X)\Gamma(X,\mathcal{F})=\mathcal{F}(X)
그렇다면 이것은 exact functor가 아니고, sheaf cohomology를 만드는 동력이 된다.

stalk를 정의하자. F\mathcal{F}가 sheaf라면
Fx=limxUF(U)\mathcal{F}_x=\lim_{x\in U}\mathcal{F}(U)
여기에서 lim이라고 쓴 것은 colimit고 xXx\in X다. 이는 xx에서의 local structure를 알려준다.

UXU\subseteq X가 open set이고 F\mathcal{F}XX의 sheaf일 때 FU\mathcal{F}|_{U}
FU(V)=F(UV)\mathcal{F}|_{U}(V)=\mathcal{F}(U\cap V)
라고 정의하자. 그러면 이것도 sheaf다.

연속함수 f:XYf:X\to Y가 있고 F\mathcal{F}XX의 sheaf, G\mathcal{G}YY의 sheaf일 때 다음 둘을 정의하자.
fF(U)=F(f1(U))(UY),fFOb(ShC(Y))f_*\mathcal{F}(U)=\mathcal{F}(f^{-1}(U))(U\subseteq Y), f_*\mathcal{F}\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y))
fG(U)=limVf(U)G(V)(UX),fmathcalGOb(ShC(X))f^*\mathcal{G}(U)=\lim_{V\subseteq f(U)}\mathcal{G}(V)(U\subseteq X), f^*mathcal{G}\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X))
이 둘을 각각 direct image functor, inverse image functor라고 부르며, 모두 f:ShC(X)ShC(Y)f_*:\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\to \mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y), f:ShC(Y)ShC(X)f^*:\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y)\to \mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)란 functor며 각각은 각각에 대해서 adjoint functor다.

F(U)\mathcal{F}(U)의 원소를 UU에서의 F\mathcal{F}의 section이라고 부른다. 그리고 U=XU=X일 때는 global section이라고 부른다.

이제 Grothendieck topology를 설명하겠다. Grothendieck topology란 topology의 일반화라고 생각하면 된다. C\mathcal{C}이 finite limit를 가지는 category고, Xob(C)X\in \mathrm{ob}(\mathcal{C})라고 하자. 그러면 각 XX들에 대한 covering의 공리계를 다음과 같이 설정하자.
  • {YX}\{Y\to X\}와 같은 isomorphism은 covering이다.
  • {UiX}\{U_i\to X\}가 covering이고 YXY\to X가 있다면 Ui×XYYU_i\times_X Y\to Y 역시 covering이다.
  • {UiX}\{U_i\to X\}가 covering이고 {UijUi}\{U_{ij}\to U_i\}도 각 ii에 대해서 covering이라면 {UijX}\{U_{ij}\to X\}도 covering이다.
covering은 각 XX들에 대해서 잡을 수 있고, 이 system 자체를 JJ라고 쓰면 JJGrothendieck topology라고 하고 (C,J)(\mathcal{C},J)site라고 한다. Grothendieck topology에서 첫번째 조건은 자기 자신도 open set이란 조건, 두번째 조건은 finite intersection도 open set이란 조건, 세번째 조건은 arbitrary union도 open set이란 조건으로 생각할 수 있다. 가장 간단한 site의 예로 Open(X)\mathrm{Open}(X)가 있는데, 이 땐 UU의 covering을 그냥 모두 union하면 UU가 되는 UU의 open subset들 {UiU}\{U_i\to U\}로 생각한다.

그렇다면, (C,J)(\mathcal{C},J)가 site라면 여기 위의 sheaf를 정의할 수 있다. F:CopD\mathcal{F}:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{D}라는 functor가 있다면 이를 (C,J)(\mathcal{C},J)presheaf라고 하고 이것이 sheaf란 것은 다음 두 가지를 만족할 때를 말한다.
  • covering {UiU}\{U_i\to U\}가 있고 fF(U)f\in \mathcal{F}(U)가 모든 ii에 대해서 fUi=0f|_{U_i}=0일 때 f=0f=0이다.
  • covering {UiU}\{U_i\to U\}에 대해서 fiF(Ui)f_i\in \mathcal{F}(U_i)들이 fiUi×XUj=fjUi×XUjf_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\times_X U_j}를 만족한다면 적당한 fF(U)f\in \mathcal{F}(U)가 있어서 fUi=fif|_{U_i}=f_i가 된다.

3. 스킴들 (Schemes)[편집]

이제 우린 sheaf를 충분히 설명했으니 scheme으로 들어가보자. 먼저 다음을 정의하자.

Definition. XX가 topological space라고 하고 OX\mathcal{O}_XXX의 어떤 한 sheaf of rings라고 하자. 그렇다면 (X,OX)(X,\mathcal{O}_X)ringed space라고 하고 OX\mathcal{O}_X의 모든 stalk가 local ring일 때 이를 locally ringed space라고 하자.

AA를 ring이라고 하자. 그렇다면 다음 set을 정의하자.
SpecA={Prime ideals of A}\mathrm{Spec}\,A=\{\text{Prime ideals of }A\}
이것의 표기법은 함수해석의 spectral theory에서 배낀 것이다. 우리가 Gelfand duality를 할 때 CC가 (unital) abelian C*-algebra라면
SpecC={h:CC} \mathrm{Spec}\,C=\{h:C\to \mathbb{C}\}
라고 정의한다. 여기에서 topology는 weak*-topology를 주고 그러면 unital이란 데에서 모든 homomorphism은 그 norm이 1이니까 Banach–Alaoglu theorem는 이것이 compact임을 열려준다. 이는 TT가 Hilbert space HH 위의 bounded normal operator라고 하고 C=C[T]C=\overline{\mathbb{C}[T]} (HH의 모든 bounded operator를 모은 C*-algebra에 주어진 strong topology, weak topology 아무거나로. 둘 중 아무거나 골라도 그 closure는 정확히 같다.)라고 정의한다면 정확히 SpecC\mathrm{Spec}\,CTT의 spectrum이 된다!! 이는 field인 Banach algebra는 C\mathcal{C}밖에 없다, maximal ideal 바깥에 있는 것과 invertible이란 건 동치란 두 정리를 이용한다. 여기에서 첫번째 정리를 생각한다면 그냥 이렇게 생각할 수 있다.
SpecC={Maximal ideals of C}\mathrm{Spec}\,C=\{\text{Maximal ideals of }C\}
덤으로 다음을 생각하자. aCa\in C일 때
a^(h)=h(a)\hat{a}(h)=h(a)
그렇다면 hat은 다음과 같은 isometry를 만든다.
CC0(SpecC) C\cong C_0(\mathrm{Spec}\,C)
그러니까, 사실 모든 abelian C*-algebra들은 C\mathbb{C}의 compact closed subset이랑 다를 게 없단 것이다!!
SpecA\mathrm{Spec}\,A란 것은 그저 함수해석의 spectral theory를 배끼는 것으로 생각할 수 있다. 근데 여기에서 maximal ideal이 아니라 prime ideal을 모았는데 이는 nilpotent element를 위해서다. commutative algebra에선
pAp={Nilpotent elements of A}\bigcap_{\mathfrak{p}\subseteq A}\mathfrak{p}=\{\text{Nilpotent elements of }A\}
란 정리가 있는데, 이것은 정확하게 "서로 다른 두 scheme이 topological space가 같으면 두 scheme은 nilpotent element로서만 다르다."를 induce한다. nilpotent element의 degree는 바로 closed subscheme의 multiplicity를 뜻하고, 이는 (Weil) divisor theory를 만든다. 서로 topological space로서 완전히 같은데 multiplicity 말고도 뭔가가 다르다면 어색하지 않을까??

이제 SpecA\mathrm{Spec}\,A에 topology를 줘야 하는데, 우리는 다음과 같은 직관을 생각하자. 여기에서 fAf\in A라고 하자.
"AA를 작게 본 것은 그 localization A(f)A_{(f)}와 다름 없다."
그래서, 우리는 다음을 정의한다.
D(f)={pSpecA(f)p}D(f)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\,A|(f)\nsubseteq \mathfrak{p}\}
D(a)={pSpecAap}D(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\,A|\mathfrak{a}\nsubseteq \mathfrak{p}\}
여기에서 (f)(f)\nsubseteq는 prime ideal의 정의로 fp f\notin \mathfrak{p}와 동치다. 이것은 직관적으로 f0f\ne 0이 만족되는 공간이라고 할 수 있다. 그러면 D(f)D(f)를 base로 하는 topology를 SpecA\mathrm{Spec}\,AZariski topology라고 하자. 그렇다면 이것이 compact(대수기하학에선 주로 quasi-compact라고 말하는)임을 보일 수 있는데, 간단히 {D(fi)}\{D(f_i)\}라는 covering이 있으면 이것들의 합집합은 D((fi))D(\sum (f_i))니까 (fi)A\sum (f_i)\ne A라면 (fi)\sum (f_i)는 어떤 maximal ideal에 포함될 거고 따라서 D((fi))SpecAD(\sum (f_i))\ne \mathrm{Spec}\,A가 된다. 이는 모순이고 따라서 적당한 i1,...,iki_1,...,i_ka1,...,akA a_1,...,a_k\in A가 있어서
ai1fi1++aikfik=1 a_{i_1}f_{i_1}+\cdots+a_{i_k}f_{i_k}=1
가 되고 따라서 D((fi1)++(fik))=SpecAD((f_{i_1})+\cdots+(f_{i_k}))=\mathrm{Spec}\,A가 되므로 SpecA\mathrm{Spec}\,A는 quasi-compact가 된다.

SpecA\mathrm{Spec}\,A에 sheaf를 하나 주자. 이를 structure sheaf라고 한다. 주는 방법은 간단한데,
OA(D(f))=A(f) \mathcal{O}_A(D(f))=A_{(f)}
이렇게. 여기에서 A(f)A_{(f)}는 localization이다. 이것은 직관적으로 D(f)D(f)에 정의될 수 있는 함수들의 모임이라고 할 수 있다. 그렇다면 sheaf axiom으로 이런 sheaf는 유일하게 주어지고, 이제
(SpecA,OA) (\mathrm{Spec}\,A,\mathcal{O}_A)
란 locally ringed space를 affine scheme이라고 부르자. 그렇다면 다음이 성립한다.
(SpecA)p=Ap(\mathrm{Spec}\,A)_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}
이것의 증명은 그냥 p\mathfrak{p} 바깥의 애들은 다 분모에 들어가게 되니까 끝난다. 덤으로 다음을 알 수 있다.
OA(SpecA)=A\mathcal{O}_A(\mathrm{Spec}\,A)=A
특히 마지막은 대수기하판 Gelfand transform이라고 생각할 수 있다.

이제 scheme을 정의할 때가 되었다. scheme이란 단순히 affine scheme으로 이루어진 open covering을 가지는 locally ringed space일 뿐이다. 역에서 locally ringed space에 대해서 open covering을 가진다는 말은 (SpecAi,OAi)(\mathrm{Spec}\,A_i,\mathcal{O}_{A_i})가 있어서 SpecAi=X\bigcup \mathrm{Spec}\,A_i=XOXU=OAi\mathcal{O}_X|_U=\mathcal{O}_{A_i}임을 뜻한다.

그렇다면 본격적으로 SpecA\mathrm{Spec}\,A가 어떻게 생겼는지 한 번 보자. 이 세상에서 가장 간단한 ring은 Z\mathbb{Z}인데, 이것의 spectrum을 생각해보자. 그렇다면 이는 다음과 같이 이루어져 있다.
(0),2Z,3Z,5Z,7Z, (0),2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},5\mathbb{Z},7\mathbb{Z},\cdots
여기에서 pZp\mathbb{Z}꼴들은 별볼일 없는데 문제는 (0)(0)다. 왜냐하면 이것은 점 하나짜리주제에 open이고 그 closure가 SpecZ\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z} 전체이기 때문이다. (!!) 따라서 (0)(0)를 포함하는 open set은 자기 자신과 전체 집합밖에 없으며 덤으로
OZ((0))=OZ(0)=Q\mathcal{O}_{\mathbb{Z}}((0))={\mathcal{O}_{\mathbb{Z}}}_{(0)}=\mathbb{Q}
가 된다. 이는 2Z,2\mathbb{Z},\cdots들을 "다시 한 번" 감싸준다는 느낌으로 이해하면 된다. 이런 point를 우리는 generic point라고 부른다.

다른 예제를 보자. 이젠 A=C[x]A=\mathbb{C}[x]라고 해보자. 그러면
SpecC[x]={(0),(x),(x1),(x2),(xi),}\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]=\{(0),(x),(x-1),(x-2),(x-i),\cdots\}
라고 표현할 수 있다. 여기에서 (xa)(x-a)aCa\in \mathbb{C}라는 point를, (0)(0)는 generic point다. 그러니까 SpecC[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]C\mathbb{C}를 대수기하학적으로 해석한 것이라고 볼 수 있다.

또 다른 예제를 보자. 이젠 A=C[x,y]A=\mathbb{C}[x,y]를 생각하자. 그러면
SpecC[x,y]={(0),(x+y),(2x2+y3+1),(xa,yb),}\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(x+y),(2x^2+y^3+1),(x-a,y-b),\cdots\}
라고 표현할 수 있다. 여기에서 (0)(0)는 generic point고, (f(x,y),g(x,y))(f(x,y),g(x,y))꼴들은 죄다 Hilbert nullstellensatz로 (xa,yb)(x-a,y-b)꼴이 된다. 그리고 세 개 이상의 element로 genenrate되는 prime ideal은 Hilbert basis theorem으로 존재하지 않는다. 그러면 이를 해석해보자. (0)(0)은 모든 원소들을 감싸준다. 그리고 (xa,yb)(x-a,y-b)(a,b)C2(a,b)\in \mathbb{C}^2에 대응된다. 그렇다면 (f(x,y))(f(x,y))꼴은 무엇일까?? 바로 C2\mathbb{C}^2 안에 있는 "closed subscheme"이다. 그러니까 scheme이란 것은 자신 안에 있는 모든 closed subscheme들을 point의 형태로 다시 가지고 있다. 이것은 그 closure가 closed subscheme이 되고, scheme 안의 closed subscheme들은 각각 그 scheme 안에 있는 point들과 1-1대응 된다.

morphism of schemes를 생각해보자. 이는 scheme theory에서 가장 중요한 요소인데, Grothendieck는 scheme을 언제나 혼자 보지 않고 relative view에서 바라봤다고 한다.
먼저 locally ringed space 사이의 morphism을 생각해보자. 이는 다음과 같은 두 쌍으로 정의된다.
f:XY,f:OXfOYf:X\to Y,f^{\sharp}:\mathcal{O}_X\to f^*\mathcal{O}_Y
그리고 각각의 stalk에 대한 morphism은 그 inverse가 maximal ideal을 maximal ideal로 옮겨야 한다.[ * 앞으로 local ring 사이의 모든 homomorphism의 inverse는 maximal ideal을 maximal ideal로 옮겨야 한다고 생각하자. 이를 local homomorphsm이라고 한다.] 그렇다면 morphism of schemes는 단순히 scheme을 locally ringed space로 바라봤을 때의 morphism이다.

우리는 f:ABf:A\to B라는 morphism을 알고 있다고 해보자. 그렇다면 이걸로 morphism of schemes SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A를 만들고자 한다. 이걸 만드는 방법은 쉬운데, 단순히 P\mathfrak{P}BB의 prime ideal이라면
f(P)(SpecA)=f1(P)(A)f(\mathfrak{P})(\in \mathrm{Spec}\,A)=f^{-1}(\mathfrak{P})(\subseteq A)
라고 정의하면 topological space 사이 morphism이 완성되고, sheaf 사이엔 그냥 f:ABf:A\to B로 induce되는 f(D(g)):D(g)=A(g)B(f(g))=D(f(g))f^{\sharp}(D(g)):D(g)=A_{(g)}\to B_{(f(g))}=D(f(g))를 생각한다. 그러면 이는 잘 정의된 morphism이 되고, 덤으로 global section functor를 생각하면 아무 morphism f:SpecBSpecAf:\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A를 가져와도 f:ABf:A\to B를 만들 수 있으며 morphism of schemes에서 바로 오는 f:A(g)B(f(g))f:A_{(g)}\to B_{(f(g))}라는 morphism은 f:ABf:A\to B에서 와야 함을 natural transformation의 성질에서 쉽게 알 수 있으므로 다음과 같은 equivalence of categories가 존재한다.
Ringop{Affine schemes}\mathrm{Ring}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \{\text{Affine schemes}\}
여기에서 오른쪽 category의 morphism은 morphism of schemes다. 이것이 바로 대수기하판 Gelfand representation이라고 할 수 있을 것이다.

4. 점들을 모은 함자 (Functor of points)[편집]

이제 SS-point에 대해서 알아보자. XX-point란 단순히 morphism of schemes SXS\to X일 뿐이다. 그리고
X(S)=Hom(S,X)X(S)=\mathrm{Hom}(S,X)
라고 정의한다. 이것이 point라고 불리는 이유는 X=SpeckX=\mathrm{Spec}\,k, kk를 field라고 했을 때 (이것은 그냥 점에 불과하지만 달려있는 sheaf가 중요함에 주의한다!!) 이것의 image를 sSs\in S라고 하면 우리는 OS,sk \mathcal{O}_{S,s}\to k라는 morphism을 만들 수 있다. 이는 OS,s\mathcal{O}_{S,s}ss 주위에서 정의되는 모든 rational function이라고 비유했을 때, 이것의 maximal ideal은 ss에서 vanish되는 rational function들이라고 볼 수 있으며, 따라서 모든 polynomial을 끝까지 인수분해해서 그 quotient를 구하면 이것은 (xa)(x-a) 이게 kk의 원소란 것은 aka\in k란 거고, 이는 ss의 coordinate들이 kk의 원소여야 가능한 일 아닐까
좀 더 명확한 예제를 들어보자. 우리는 A=SpecQ[x]A=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]라고 해보자. Q\mathbb{Q}C\mathbb{C}완 달리 algebraically closed가 아니고, 따라서 여러가지 현상이 나온다. 예를 들면 SpecQ[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]의 원소들을 나열해보면
SpecQ[x]={(0),(xa),(x2+ax+b),(x3+ax2+bx+c),}\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]=\{(0),(x-a),(x^2+ax+b),(x^3+ax^2+bx+c),\cdots\}
가 된다. 뭔가 SpecC[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]보다 복잡해졌는데, 바로 뒤에 2차다항식, 3차다항식이 그대로 남아 있단 것 때문에 그렇다. 이제
SpecQSpecQ[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}\to \mathrm{Spec}\mathbb{Q}[x]
의 image로 가능한 것은 오로지 (xa)(x-a)꼴밖에 없다. 왜냐하면 (xa)(x-a)꼴만이 그 residue field가 Q\mathbb{Q}고 따라서 자기 자신을 extension field로 가짐으로서 OQ[x],(xa)Q\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[x],(x-a)}\to \mathbb{Q}란 morphism을 가질 테니까. 따라서
(SpecQ[x])(Q)=(SpecQ[x])(SpecQ)={aQ}(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q})=(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q})=\{a\in \mathbb{Q}\}
라고 표현할 수 있을 것이다. 그러니까 Q\mathbb{Q}의 원소들을 모은 것이다. 우리의 직관으론 이것이 Q\mathbb{Q}란 space 자체라고 생각할 것이다.
그렇다면 다음을 생각하자.
SpecQ(2)SpecQ[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]
이것의 image로 가능한 것들은 residue field를 Q((2))\mathbb{Q}(\sqrt(2))를 extension field로 가지는 point들. 그러니까 (xa)(x-a)꼴들과 (x2+ax+b)(x^2+ax+b)꼴들 중에서도 a24b=2a^2-4b=2인 것들. 그러니까 써보면
(SpecQ[x])(Q(2))={αQ(2)}(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))=\{\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\}
가 된다. 그러니까 그냥 Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2})다!! 이렇게 우린 이런 해석을 할 수 있다.
"SpecQ[x]\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]Q\mathbb{Q} 위의 정보 뿐만 아니라 Q\mathbb{Q}의 finite field extension 위의 정보도 가지고 있고 이런 정보들은 SS-point란 개념으로 알아낼 수 있다.
이제 우리는 특별히 Speck\mathrm{Spec}\,k-point를 kk-rational point라고 부르자.

SS-point로 할 수 있는 게 더 있다. 바로 affine scheme들을 Yoneda embedding으로 보내는 것이다!! affine scheme을 relative point of view로 봐야겠다면 반드시 우리는 Yoneda embedding을 써야 한다. 이렇게
hA=Hom(A,):RingSeth_A=\mathrm{Hom}(A,-):\mathrm{Ring}\longrightarrow \mathrm{Set}
Hom functor들은 모든 functor들 중에서 정말 극소수에 불과하다. 우리는 scheme을 재정의할텐데, 먼저 functor 사이 natural transformation FGF\to G가 open immersion이란 것을 hBGh_B\to G라는 functor가 있으면 언제나 적당한 hAFh_A\to F라는 functor와 hAhBh_A\to h_B란 natural transformation이 있어서 commutative diagram을 만들고 hAhBh_A\to h_B가 만드는 ABA\to B가 localization 방식으로 표현된다는 것이다. functor 사이에 "성질"을 주는 것은 모두 다 처음에 hBGh_B\to G를 생각하는 것으로 시작한다. 그렇다면 functor들 사이엔 당연히 finite limit와 finite colimit가 있으며, 이것으로 union을 정의한다면 X:RingSetX:\mathrm{Ring}\longrightarrow \mathrm{Set}이 scheme이란 것은 적당한 AiA_i들이 있어서 hAiXh_{A_i}\to X란 open immersion이 있고 덤으로 hAiX\bigcup h_{A_i}\to X가 isomorpism인 것이다. 이런 정의가 우리가 맨 위에서 했던 scheme의 정의와 동치란 것은 증명하기 쉽다.
이것은 얼핏 보면 sheaf를 전혀 쓰지 않은 정의같지만, SpecA\mathrm{Spec}\,A의 sheaf는 hAh_A에서 출발하는 morphism들에 encode되어 있는 것이나 마찬가지다. 다만 다른 점은 open AA의 localization들이 아니라 AA-algebra "전체"를 본다는 것이며 이는 "small" Zariski topology에서 벗어나 "big" Zariski topology를 정의하는 원동력이 된다.
이를 가만히 생각하고 보면, 사실 SS-point란 것은 그냥 SS-algebra라고 바꿔 불러도 좋다는 결론이 나온다. SS가 affine scheme이라면 그냥 algebra하고 다를 게 없으니까!!
보통 수학계에선 Ring\mathrm{Ring}를 쓰지 않고 affine scheme들을 모은 Affop\mathrm{Aff}^{\mathrm{op}}를 쓰고 Hom(A,)\mathrm{Hom}(A,-)Hom(,SpecA)\mathrm{Hom}(-,\mathrm{Spec}\,A)를 쓴다.
이런 기법을 functor of points라고 하며, scheme을 category의 관점에서 보고 싶을 때 이 방법을 쓴다. 이 방법으로 우리는 category of schemes가 fibre product를 가짐을 쉽게 확인할 수 있다. 간단히 ring은 tensor product를 가지니까[1] [2]

이제 xXx\in X란 점이 있을 때 이것은 적당한 field kk가 있어서 SpeckX\mathrm{Spec}\,k\to X의 image로 표현할 수 있고, 대수기하에서 점을 SpeckX\mathrm{Spec}\,k\to X와 같이 표현하는 것은 정말로 유용하다. 이것은 OX,x\mathcal{O}_{X,x}를 생각하는데, 이것의 residue field를 kk라고 하면 image가 xx인 유일한 morphism SpeckX\mathrm{Spec}\,k\to X가 존재한다. 그러면 우리는 f:XYf:X\to Y란 morphism of schemes가 있을 때 yYy\in Y에서의 fibre를 생각할 수 있는데, yy가 <math>다음과 같이 표현한다.
f1(y)=Xy=X×YSpeckf^{-1}(y)=X_y=X\times_Y \mathrm{Spec}\,k
이는 XYX\to YSpeckY\mathrm{Spec}\,k\to Y 둘로 만든다.

5. 스킴의 더 많은 성질들 (More properties on category of schemes)[편집]


그렇다면 이제 몇몇 morphism of scheme들의 모습을 봐보자. i:UXi:U\to X가 open immersion이란 것은 이것이 injection이고, image가 XX에서 open이고, 덤으로 OXi(U)=iOU\mathcal{O}_X|_{i(U)}=i_*\mathcal{O}_{U}일 때를 말한다. 반대로 j:ZXj:Z\to X가 closed immersion이란 것은 이것으로 induce되는 i:XZXi:X\setminus Z\to X가 open immersion일 때를 말한다.
f:XSf:X\to S가 morphism of finite type이란 것은 적당한 SS의 open affine finite covering {SpecAi}\{\mathrm{Spec}\,A_i\}가 있어서 f1(SpecAi)f^{-1}(\mathrm{Spec}\,A_i)가 open affine covering {SpecBij}\{\mathrm{Spec}\,B_{ij}\}로 뒤덮히고 BijB_{ij}들이 AiA_{i} 위의 finitely generated algebra인 것이다. 그리고 f:XSf:X\to S가 finite morphism이란 것은 역시 SS에 open affine finite covering이 있어서 각각의 inverse image가 이번엔 정확히 affine scheme이면서 BiB_i가 finite AiA_i-module인 것이다. 각각은 "모든 covering에 대해서"라고 조건을 바꾸어도 된다. 그리고 morphism of finite presentation이란 것은 간단히 BijB_{ij}들이 finitely presented AiA_i-algebra라고 조건을 바꾸면 된다.

ring이 있으면 그 위에 module이 있을 것이다. 이는 scheme의 세계에도 그대로 적용되는데 XX가 scheme이고 F\mathcal{F}XX 위의 sheaf of abelian groups일 때 이것이 OX\mathcal{O}_X-module이란 것은 모든 XX의 open set UU에 대해서 F(U)\mathcal{F}(U)OX\mathcal{O}_X-module이란 것이다. 그리고 OX\mathcal{O}_X-module F\mathcal{F}가 quasi-coherent란 것은 적당한 set I,JI,J가 있어서
OXIOXJF0 \mathcal{O}^I_X\longrightarrow \mathcal{O}^J_X\longrightarrow \mathcal{F}\to 0
란 exact sequence가 있단 것이다. 이것의 직관은 sheaf가 OX\mathcal{O}_X가 움직일 때마다 따라서 같이 움직인다는 직관이 있다. 그리고 coherent sheaf는 exact sequence에서 I,JI,J 모두 finite set일 때를 말한다.
X=SpecAX=\mathrm{Spec}\,A가 affine scheme이고 MMAA-module일 때 XX 위의 quasi-cohernet sheaf M~\tilde{M}가 있어서 M~(X)=M\tilde{M}(X)=M이고 이는 반대도 성립한다. 그러니까 affine scheme에선 quasi-coherent sheaf란 그저 module에 불과하다. 이것의 증명은 module의 localization을 생각하는 등 위에서 scheme 할 때랑 거의 똑같이 간다.
j:ZXj:Z\to X란 closed immersion이 있다고 해보자. 그러면 jOZj^*\mathcal{O}_Z는 local하게 보면 OX\mathcal{O}_X의 quasi-cohernet sheaf임을 쉽게 알 수 있다. 특히 X=SpecAX=\mathrm{Spec}\,A가 affine scheme이면 OXjOZ\mathcal{O}_X\to j^*\mathcal{O}_Z에 global section functor를 씌워서 AΓ(X,jOZ)A\to \Gamma(X,j^*\mathcal{O}_Z)라는 surjection이 나오고, 이것의 kernel을 생각하면 바로
Γ(X,jOZ)A/I \Gamma(X,j^*\mathcal{O}_Z)\cong A/I
꼴이 나온다. 이제 localization을 생각하면 바로 Z=SpecA/IZ=\mathrm{Spec}\,A/I가 나오고 affine scheme의 모든 closed subscheme은 affine scheme임을 증명할 수 있다. (이거 Hartshorne 2.2단원에 별표 달린 문제로 있다.)
하지만 affine scheme의 모든 open subscheme이 affine인 건 아니다. 예를 들면 SpecC[x,y]{(x,y)}\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x,y]\setminus \{(x,y)\}.

이제 scheme 자체의 성질을 보자. scheme이 quasi-compact란 것은 모든 covering이 finite subcovering을 가진다는 것이고 f:XSf:X\to S가 quasi-compact란 것은 그 image가 quasi-compact임을 뜻한다.
f:XSf:X\to S가 separated morphism이란 것은 이것으로 만들어지는 다음 diagonal morphism XX×SXX\to X\times_S X이 closed immersion인 걸 뜻한다. 이는 XXX\to X라는 identity morphism과 XSX\to S란 morphism으로 만들어진 fibre product diagram에서 나온다. 특히 S=SpecZS=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}인 경우 XX를 그냥 separated scheme이라고 한다. 예를 들면 모든 affine scheme은 separated scheme이다. 그리고 closed immersion이란 조건을 quasi-compact란 조건으로 약화시키면 quasi-separated morphism이 나온다. SpecZ\mathrm{Spec}\,\mathrm{Z}는 category of schemes의 final object이므로 separated scheme은 그냥 product를 생각하면 된다.
separated scheme을 좀 더 직관적으로 이해해본다면 XX의 두 affine scheme Ui=SpecAiU_i=\mathrm{Spec}\,A_i가 있다고 할 때 이것의 intersection을 생각하자. 그러면 이것은 일반적으로 affine scheme이 아니다. 예를 들면 SpecC[x,y]\mathrm{Spec}\,\mathrm{C}[x,y] 두 개를 생각하고 한 점을 뺀 나머지를 identify시킨 scheme을 생각하면 이건 평면인데 갑자기 중간에 점 두 개가 갑툭튀하는 방식으로 이해할 수 있는데, 윗점을 포함하는 open subscheme이랑 아래점을 포함하는 open subscheme을 생각하면 이 둘의 intersection은 위에서 이미 했듯이 안타깝게도 affine scheme이 아니다. 하지만 separated란 조건을 추가하면 이런 일이 사라진다. XX가 separated라면 U1×U2X×XU_1\times U_2\subseteq X\times X고, 이것을 diagonal morphism으로 보낸 inverse image는 Δ:XX×X\Delta:X\to X\times X를 생각하면
U1U2=Δ1(U1×U2)U1×U2U_1\cap U_2=\Delta^{-1}(U_1\times U_2)\to U_1\times U_2
를 만들고 closed subscheme of affine scheme은 affine이므로 그 intersection도 affine이 된다!! 임의의 두 affine scheme의 intersection이 affine이란 것은 separated란 조건과 동치며 quasi-separated는 그 intersection을 유한개의 affine scheme들의 union으로 나타낼 수 있단 것과 동치다. 그리고 separated morphism에 대해선 x1,x2Xx_1,x_2\in X가 같은 sSs\in S로 대응될 때만 저 두 point의 neighborhood에 대해서 성립한다.
보통 scheme을 다룰 때 quasi-compact와 quasi-separated란 조건을 많이 준다. 이를 줄여서 qsqc라고 하며 대수기하학자들의 서민(??) 조건이다.
원래 Grothendieck가 처음 scheme을 소개할 땐 separated scheme을 두고 scheme이라고 했다고 한다. 하지만 그 후로 separated가 아닌 scheme을 다뤄야 할 필요가 생기면서 이 조건은 빠지게 된다.
scheme XX가 locally noetherian이란 것은 모든 open affine subscheme SpecAX\mathrm{Spec}\,A\subseteq X에 대해서 AA가 noetherian임을 뜻한다. 그리고 XX가 noetherian이란 건 quasi-compact에다가 locally noetherian인 것이다. 그리고 noetherian이란 조건은 local property이므로 X=SpecAX=\mathrm{Spec}\,A가 noetherian일 필요충분조건은 AA가 noetherian인 것이다.
XX가 scheme일 때 XX가 normal이란 것을 적당한 affine open cover가 있어서 거기에서 ring들이 integrally closed domain인 걸로 정의하자.
마지막으로, scheme의 dimension을 정의해보자. XX가 noetherian이고 connected일 때 XX의 dimension은 다음과 같이 가능한 closed subscheme들의 나열의 길이다.
Z1Z2Zn+1=XZ_1\subseteq Z_2\subseteq \cdots \subseteq Z_{n+1}=X

6. 사영 스킴 (Projective spaces)[편집]

이제 Proj construction을 소개해보자. Spec construction과는 다르게 Proj construction은 graded ring을 쓴다. 왜냐하면 우리는 이제 projective line을 construct할 건데 거기에서 중요한 건 모든 항이 차수가 같다는 것이고 그러면 affine plane을 line으로 나눌 수 있기 때문이다.
S=i0SiS=\bigoplus_{i\ge 0} S_i가 graded ring이라고 하자. 그러면 SS의 homogenous ideal a\mathfrak{a}f1++fnaf_1+\cdots+f_n\in \mathfrak{a}이고 fiSif_i\in S_i일 때 fiaf_i\in \mathfrak{a}를 만족하는 것으로 정의하자. 그리고
ProjS={Homogenous prime ideals of S that satisfies S+=i1p}\mathrm{Proj}\,S=\left\{\text{Homogenous prime ideals of }S\text{ that satisfies }S_{+}=\bigoplus_{i\ge 1}\nsubseteq \mathfrak{p}\right\}
라고 정의하자. 그렇다면 이것은 Spec을 정의했던 것과 똑같이 scheme으로 만들 수 있다.
한가지 예제를 들어보자. Si={akxkyikakC}S_i=\{\sum a_kx^ky^{i-k}|a_k\in \mathbb{C}\}라고 해보자. 그렇다면 S=C[x,y]S=\mathbb{C}[x,y]를 graded ring으로 만들 수 있고,
ProjC[x,y]={(0),(ax+by)}\mathrm{Proj}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(ax+by)\}
가 된다. 여기에서 a,bCa,b\in \mathbb{C}며 x 중심으로 본다면 (y)(y)를 "point at infinity"로 볼 수 있다. 그리고 복소해석과 똑같이
f:zaz+bcz+df:z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}
라고 Möbius transformation을 정의할 수 있고, 따라서 point at infinity는 마음대로 잡을 수 있다.
이것으로 우리는 AA가 아무 ring일 때
AAn=SpecA[x1,,xn]\mathbb{A}^n_{A}=\mathrm{Spec}\,A[x_1,\cdots,x_n]
PAn=ProjA[x0,,xn]\mathbb{P}^n_{A}=\mathrm{Proj}\,A[x_0,\cdots,x_n]
라고 정의하자.

projective space의 좋은 점은 "complete"하다는 것이다. 이제 우리는 f:XSf:X\to S가 proper morphism라는 것을
1. separated morphism이고
2. morphism of finite type이고
3. universally closed다. 그러니까 TST\to S가 있으면 T×SXTT\times_S X\to T는 closed다.
로 정의한다. 이것만 봐서는 proper morphism이 무엇인지 감을 잡기 힘들 것이다. proper morphism은 간단하기 compact set의 relative version이라고 할 수 있고, 이는 topological space에서의 proper map의 criterion을 따라한 것이다. 이것은 한 가지 성질을 만족한다.

Valuative criterion of properness. 먼저 f:XSf:X\to S를 생각하자. RR이 valuation ring이고 그 field of fraction이 KK라고 하자. 그러면 SpecRS\mathrm{Spec}\,R\to S가 있고 SpecKX\mathrm{Spec}\,K\to X가 있고 이 둘이 f와 SpecKSpecR\mathrm{Spec}\,K\to \mathrm{Spec}\,R와 함께 commutative diagram을 이룬다고 하자. 이럴 때 언제나 유일한 SpecRX\mathrm{Spec}\,R\to X가 있어서 나머지 넷과 commutative diagram을 이룬다면 f는 proper다.

먼저 SpecR\mathrm{Spec}\,R가 어떤 모습으로 있는지 관찰하자. 먼저 RR는 prime ideal이 단 둘밖에 없다. 하나는 (0)(0)고 또 하나는 RR가 local ring이어서 갖는 maximal ideal이다. 이 maximal ideal은 closed point가 되고 open set은 공집합, {(0)}\{(0)\}, SpecR\mathrm{Spec}\,R 자기 자신밖에 없다. 그리고 generic point에서의 local ring은 field of fraction이고 closed point에서의 local ring은 자기 자신이다. 따라서 SpecKSpecR\mathrm{Spec}\,K\to \mathrm{Spec}\,R의 image는 generic point고 이것은 open immersion이 된다.
이제 우리는 AC1SpecC\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}를 한 번 보자. 그러면 우리는 R={fgf,gC[x] and deg(f)deg(f)}R=\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x]\text{ and }\mathrm{deg}(f)\le \mathrm{deg}(f)\}라고 하자. 이것의 maximal ideal은 이것의 field of fraction은 C(x)\mathbb{C}(x)로 다른 AC1\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}의 local ring이랑 다를 바 없으므로 우리는 image를 (x)(x)로 하는 SpecKAC1\mathrm{Spec}\,K\to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}를 생각하고 SpecRSpecC\mathrm{Spec}\,R\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}1x\frac{1}{x}를 잊는 map으로 주자. 그러면 이것은 criterion을 만족하지 못 한다. 왜냐하면 10\frac{1}{0}AC1\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}} 안엔 없기 때문이다!! 실제로 있다고 가정한다면 valuation ring의 maximal ideal이 어딘가에 대응되어야 하는데 (xa)(x-a)에 대응된다고 하면 local ring을 생각해서
R=C[x](xa) R=\mathbb{C}[x]_{(x-a)}
가 만들어지는데, 안타깝게도 이걸 만족하는 aa는 없다!! 왜냐하면 RR는 바로 point at infinity의 local ring이기 때문이다. (C(x)\mathbb{C}(x)를 field of fraction으로 내뱉는 local ring은 죄다 C[x](xa),R\mathbb{C}[x]_{(x-a)},R과 같은 꼴이다. 증명은 Möbius transformation) 하지만 PC1\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}는 이를 잘 만족한다. 그러므로 AC1SpecC\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}는 proper가 될 수 없지만 PC1SpecC \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}는 proper morphism이다. 그러니까 proper morphism은 "모든 local ring을 가지고 있는, 빈 틈 없는 morphism"이라고 할 수 있다.

7. 스킴 위 스킴 (Scheme over a scheme)[편집]

이제 "Scheme over a scheme SS"란 개념에 대해서 소개하자. 이것은 그냥 XSX\to S에 불과하다. 이 개념을 도입하는 이유는 이를 local하게 보면 algebra랑 다름 없기 때문이다.
예를 들면 S=SpeckS=\mathrm{Spec}\,k for some field kk라고 해보자. 그러면 X X의 모든 open affine subscheme SpecA\mathrm{Spec}\,A에 대해서 AAkk-algebra가 된다. 그러니까 "kk 위에 있다"는 것이다.
functor of points의 관점에서 본다면 XXkk 위에 있다면 kk의 모든 subfield kk'에 대해서 X(k)=0X(k')=0가 된다. 그러니까 더 이상의 정보를 얻을 수 없다. 그래서 정수론을 할 땐 보통 finite field같은 곳에서 먼저 scheme을 정의한 다음에 그 scheme을 algebraic closure로 올린다.

8. 층의 더 많은 성질들 (More on sheaves)[편집]

우리는 locally free sheaf를 정의할텐데 X X가 scheme이고 F\mathcal{F}가 그 위의 coherent sheaf라고 하자. 그러면 F\mathcal{F}가 locally free sheaf라는 건 모든 open subscheme UXU\subseteq X에 대해서 F(U) \mathcal{F}(U)가 free OX(U)\mathcal{O}_X(U)-module인 것이다. 그리고 적당한 open covering이 있어서 거기에서 rank가 1이면 그 sheaf를 invertible sheaf라고 부른다.
invertible sheaf란 말은 정말로 invert할 수 있다는 뜻으로 나왔다. tensor product of sheaves는 자명하게 정의할 수 있고, L\mathcal{L}XX 위의 invertible sheaf라고 하자. 그러면 적당한 open subscheme들의 covering {Ui}\{U_i\}가 있어서 L(Ui)=(fi)\mathcal{L}(U_i)=(f_i)가 되는데, 간단히 L1(Ui)=(1fi)\mathcal{L}^{-1}(U_i)=\left(\frac{1}{f_i}\right)를 준비하자. 이렇게 invertible sheaves는 tensor product로 group을 이루며 이를 Picard group이라고 하고 Pic(X)\mathrm{Pic}(X)라고 쓴다.

먼저 locally free sheaf가 affine scheme에서 무엇에 대응되는지 생각해보자. X=SpecAX=\mathrm{Spec}\,A라고 한 뒤에 여기 위의 locally free sheaf F\mathcal{F}를 생각하자. 그렇다면 M=Γ(X,F)M=\Gamma(X,\mathcal{F})를 생각하는데 locally free란 조건으로 모든 p\mathfrak{p}에 대해서 MpM_{\mathfrak{p}}는 free고 따라서 적당한 free module FF over AA와 morphism FMF\to M가 있다고 해보자. 그러면 이것은 p\mathfrak{p}로 localizing시키면 split하고 우리는 따라서 FMF\to M을 합성하는
Hom(M,F)Hom(M,M)\mathrm{Hom}(M,F)\to \mathrm{Hom}(M,M)
의 image가 identity를 포함함을 증명해야 하는데 이것 역시 localizing하면 free란 조건때문에 그 cokernel이 localizing하면 freeness로 인한 split함으로 0이 되고 따라서 MM가 free가 된다. 반대로 MM가 projective면 local ring 위의 f.g. projective module은 basis 잡고 free module 잡고 split하게 해주면 Apn=MmpApnA_{\mathfrak{p}}^n=M\oplus \mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}^n로 Nakayama lemma를 쓰면 free가 되고 따라서 다음 대응이 생긴다.
{locally free sheaves over X=SpecA}{projective modules over A}\{\text{locally free sheaves over }X=\mathrm{Spec}\,A\}\longleftrightarrow \{\text{projective modules over }A\}
우리는 KK가 number field일 때 이것의 ring of integers OK\mathcal{O}_K를 생각해보자. 그러면 SpecOK\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_K의 invertible sheaf를 생각하자. 이것은 local하게 rank가 1이며 각각의 prime ideal들을 생각하고 OK\mathcal{O}_K가 Dedekind domain임을 생각하면
Pic(SpecOK)=ClK\mathrm{Pic}(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_K)=\mathrm{Cl}_K
로, 그러니까 ideal class group이 된다.

이제 우리는 projective line PC1\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}위에 있는 structure sheaf의 global section functor를 생각하자. 그러면 point at infinity를 빼고 생각하면 global section functor에 들 수 있는 function들이 C[x]\mathbb{C}[x]가 되는데, 이것들은 상수 빼고는 모두 point at infinity에서 제대로 정의되지 않으므로
Γ(PC1,OPC1)=C\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}})=\mathbb{C}
가 된다.
projective line엔 invertible sheaf가 이런 것만 있는 게 아니다. 우리는 C[x,y]\mathbb{C}[x,y]에다가 graded module을 하나 줄 건데 간단히 degree를 한 칸씩 옮긴 M=C[x,y]M=\mathbb{C}[x,y]를 생각할 것이다. 이는 상수term은 degree 1이고 1차항은 degree 2다. 그러면 이것에 대응되는 sheaf를 O(1)\mathcal{O}(1)이라고 하고 이를 Serre twisting sheaf라고 부를 것이다. 그러면 이것도 point at infinity를 빼고 생각하면 PID 위의 projective module은 O(1)(PC1{})=C[x]\mathcal{O}(1)(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\setminus \{\infty\})=\mathbb{C}[x]로 똑같고 이것으로 Serre twisting sheaf가 invertible sheaf라는 것도 알 수 있다. 하지만 무한대점에서 이번엔 일차항까지 허용하고 따라서
Γ(PC1,O(1))={a+bxa,bC}\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},\mathcal{O}(1))=\{a+bx|a,b\in \mathbb{C}\}
가 된다.
Serre twisting sheaf를 이번엔 PCn\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}에 대해서 구체적으로 쓰면 다음과 같이 된다.
O(m)(U)={fgf,gC[x0,,xn],f,g are homogenous and deg(f)=deg(g)+m,g(a0,,an)0 for (a0,,an)PCn}\mathcal{O}(m)(U)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x_0,\cdots,x_n],f,g\text{ are homogenous and }\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)+m,g(a_0,\cdots,a_n)\ne 0 \text{ for }(a_0,\cdots,a_n)\in \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\right\}
그렇다면 중복조합 세듯이 해주면 m0m\ge 0일 때
dimΓ(PCn,O(m))=(m+nn)\mathrm{dim}\,\Gamma(\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}},\mathcal{O}(m))={{m+n}\choose{n}}

우리는 이제 Weil divisor란 개념을 소개하자. field kk 위의 XX가 normal finite type scheme일 때 XX는 Hilbert basis theorem으로 noetherian이고 XX 위의 codimension 1 subscheme들 ZiZ_i이 있으면
ni[Zi] \sum n_i [Z_i]
를 Weil divisor라고 하자. 그리고 open set UU에 대해서 OX(U)\mathcal{O}_{X}(U)의 field of fraction을 KX(U)K_{X}(U)라고 할 때 UKX(U)U\mapsto K^*_{X}(U)란 presheaf를 생각할 수 있고 이것의 sheafification의 global section을 rational function이라고 부르자. 그리고 우리는 fxKX,xf|_{x}\in \mathcal{K}_{X,x}를 생각하는데 이 때 noetherian이란 조건과 codimension 1이란 조건, integrally closed란 조건으로 OX,x\mathcal{O}_{X,x}는 discrete valuation ring이 되고 따라서 fxf|_x의 degree를 잴 수 있고, 이 degree를 ν{x}ˉ(f)\nu_{\bar{\{x\}}}(f)라고 쓰자. 그리고 두 Weil divisor D,DD,D'가 있을 때 DDD\sim D'를 적당한 rational function ff가 있어서
DD=deg(f)=ZXνZ(f)[Z]D-D'=\mathrm{deg}(f)=\sum_{Z\subseteq X} \nu_{Z}(f)[Z]
인 것을 말한다. 여기에서 우변은 유한합이다. 그리고 이런 Weil divisor들로 만든 group을 Cl(X)\mathrm{Cl}(X)라고 쓰자. 그러면
ini[Zi]ini \sum_{i} n_i[Z_i]\mapsto \sum_i n_i
는 다음과 같은 map deg:Cl(X)Z\mathrm{deg}:\mathrm{Cl}(X)\to \mathbb{Z}를 만들 수 있다.
XX가 locally factorial이란 것을 적당한 open affine covering이 있어서 그 곳에서 ring들이 UFD인 것을 말한다. 그러면 invertible sheaf를 생각하면 작은 open subscheme에서의 section은 인수분해 될 수 있고, 따라서 다음이 성립한다.
Pic(X)Cl(X)\mathrm{Pic}(X)\cong \mathrm{Cl}(X)
그러면 kk를 field라고 하고 X=PknX=\mathbb{P}^n_{k}라고 하고 L\mathcal{L}을 invertible sheaf라고 하고 이것에 대응되는 Weil divisor를 D=ini[Zi]D=\sum_i n_i[Z_i]라고 하자. 그러면 먼저 rational function이 어떻게 생겼는지 확인해보자. rational function은 먼저 Frack[x0,,xn]\mathrm{Frac}k[x_0,\cdots,x_n]의 원소고, 분자분모가 모두 homogenous function이고 무한대에서 발산하면 안 되니까 분자의 degree가 분모의 degree보다 작고 그렇다고 분모가 더 크면 그 inverse가 없으므로 분자분모는 같은 degree를 가진다. 그리고 degD=0\mathrm{deg}\,D=0이라면 각각의 closed subscheme의 maximal ideal의 generator들을 {fi}\{f_i\}라고 한다면 f=finif=\prod f^{n_i}_i를 생각할 수 있고, 그러면 D=deg(f)D=\mathrm{deg}\,(f)가 되고 Serre twisting sheaf들이 있으므로
Pic(X)=Cl(X)=Z\mathrm{Pic}(X)=\mathrm{Cl}(X)=\mathbb{Z}
가 된다.

우리는 sheaf들을 보면서 global section이 매우 빈약한 sheaf를 보았고 global section이 많은 sheaf를 보았는데 이제 global section이 많은 sheaf를 보자. 이런 sheaf는 global section으로부터 stalk의 basis를 만드는데, 예를 들면 Pkn\mathbb{P}^n_k에서 O(1)\mathcal{O}(1)같은 애들.
이제 우리는 XX를 위 divisor 할 때랑 똑같은 조건으로 두고 L\mathcal{L}를 line bundle이라고 하고 Γ(X,L)\Gamma(X,\mathcal{L})를 생각할 건데, 이것의 basis를 f1,,fmf_1,\cdots,f_m이라고 하면 모든 XX의 point의 stalk를 f1,,fmf_1,\cdots,f_m가 generate한다면 L\mathcal{L}very ample bundle이라고 하자. 그러면 L\mathcal{L}가 very ample line bundle이라면
i:XPkm1,x(f1(x):f2(x)::fm(x))i:X\to \mathbb{P}^{m-1}_k,x\mapsto (f_1(x):f_2(x):\cdots:f_m(x))
라는 immersion을 만들 수 있고, L=iO(1)\mathcal{L}=i^*\mathcal{O}(1)가 된다.
우리는 XPknX\to \mathbb{P}^n_k라는 closed immersion이 존재하는 scheme을 projective scheme이라고 하자. 그러면 projective scheme엔 반드시 very ample line bundle이 존재하게 되고, 이는 많이 중요하다. L\mathcal{L}XX의 very ample line bundle이고 F\mathcal{F}가 아무 coherent sheaf면 적당한 nn이 있어서 FOXLn\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^n는 모든 stalk가 global section에서 나오기 때문이다. 그러니까 sheaf를 아주 다루기 편하게 해주는 도구가 된다.
이제 L\mathcal{L}이 invertible sheaf일 때 graded ring Γ(X,L)\Gamma_*(X,\mathcal{L})를 생각해보자. 이는 Γ(X,Ln)\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})를 nth grade라고 생각하고
Γ(X,L)=n0Γ(X,Ln)\Gamma_*(X,\mathcal{L})=\oplus_{n\ge 0}\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})
를 생각한 것이다. 이는 원래 invertible sheaf엔 곱셈이 없지만 억지로 곱셈을 추가한 것으로 볼 수 있다. 그러면 원래부터 곱셈이 있었던 OX\mathcal{O}_X는 그냥 Γ(X,OX)=Γ(X,OX)[x]\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\Gamma_*(X,\mathcal{O}_X)[x]로 생각할 수 있다. 그리고 특히 L\mathcal{L}이 very ample이면 이것의 global section은 XX의 모든 local section을 만들기에 XX의 affine open covering을 하나 잡고 Γ\Gamma_*쪽의 localization을 비교하면 다음과 같은 open immersion이 있을 수 있다.
XProjΓ(X,L)X\to \mathrm{Proj}\,\Gamma_*(X,\mathcal{L})

이제 XX가 scheme이고 L\mathcal{L}XX 위 invertible sheaf일 때 이것이 ample line bundle이란 것은 적당한 nn가 있어서 Ln\mathcal{L}^{\otimes n}가 very ample이란 것이다. 이것은 very ample line bundle만큼이나 중요한데, 어차피 몇 번 tensoring하는 것으로 very ample인 것처럼 다룰 수 있기 때문이다.
예를 들어서 XX가 affine scheme일 때 그 structure sheaf는 자명하게 very ample이고 따라서 ample이다. 그리고 projective space Pkn\mathbb{P}^n_k의 Serre twisting sheaf O(1)\mathcal{O}(1)도 언제나 very ample이고 ample이다.

XXquasi-affine이란 것을 XX가 어떤 affine scheme의 open subscheme일 때를 말한다. 당연히 이는 affine이 아닐 수도 있다. 하지만 OX\mathcal{O}_XXX를 여전히 만드는데, XSpecAX\to \mathrm{Spec}\,A는 다음과 같은 map들로 쪼갤 수 있다.
XSpecΓ(X,OX)SpecAX\to \mathrm{Spec}\,\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{Spec}\,A
여기에서 오른쪽은 XSpecAX\to \mathrm{Spec}\,A로 만들어지는 sheaf 사이 morphism으로 만들어지는 것이고 왼쪽은 XX를 local하게 affine scheme으로 보고 이를 U=SpecRU=\mathrm{Spec}\,R이라고 쓰면 OX(U)R\mathcal{O}_X(U)\to R이 언제나 존재하므로 이를 붙혀서 만들 수 있다. 그리고 이 composition은 open immersion이 되어야 하니까 왼쪽도 똑같이 open immersion이 되어야 한다.

이제 다음을 증명하자.
XX가 quasi-affine일 필요충분조건은 OX\mathcal{O}_X가 ample인 것이고 이는 OX\mathcal{O}_X가 very ample이라는 것과 동치다.

먼저 OX\mathcal{O}_X가 ample이면 당연히 very ample이고 위에서 했던 것과 OX\mathcal{O}_X에 대해선 Γ(X,OX)=Γ(X,OX)[x]\Gamma_*(X,\mathcal{O}_X)=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)[x]인 것으로
XSpec(Γ(X,OX)[x])X\to \mathrm{Spec}\,(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)[x])
라는 open immersion을 만들 수 있고, 따라서 XX는 quasi-affine이다. 그리고 이것으로 위에서 한 것으로 OX\mathcal{O}_X는 very ample이 되고 very ample이면 ample이다.

quasi-affine이 있으면 quasi-projective도 정의할 수 있다. kk[3] 위의 scheme of finite type XXprojective라는 것은 적당한 nn이 있어서 다음과 같은 closed immersion
XPknX\to \mathbb{P}^n_k
이 있을 때를 말한다. 비슷하게, quasi-projective scheme을 어떤 projective scheme의 open subscheme이라고 정의한다. 그렇다면 다음이 성립한다.
kk 위의 scheme of finite type XX가 quasi-projective일 필요충분조건은 XX에 ample line bundle이 존재하는 것이다.

이제, SS가 quasi-compact일 때 XSX\to S가 affine morphism이란 것을 모든 SS의 open subscheme의 inverse image가 affine인 것을 뜻한다고 하고 quasi-affine morphism은 inverse image가 quasi-affine인 것을 뜻한다고 하자. 비슷하게 kk-scheme들의 morphism XSX\to S가 projective morphism이란 것을 모든 SS의 open subscheme의 inverse image가 projective scheme over kk인 것을 뜻하고 quasi-projective morphism도 비슷하게 정의한다.

증명은 간단하게 L\mathcal{L}가 그 ample line bundle이면 Ln\mathcal{L}^{\otimes n}은 다음과 같은 immersion들
XProjΓ(X,Ln)PkmX\to \mathrm{Proj}\,\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})\to \mathbb{P}^m_k
을 만든다. 그러면 오른쪽은 closed immersion이고 왼쪽은 open immersion이다. 반대방향은 간단히 Pkm\mathbb{P}^m_k에 있는 Serre twisting sheaf를 뒤로 밀어주자.

SS 위의 quasi-coherent sheaf F\mathcal{F}에 대해서 SpecF\mathrm{Spec}\,\mathcal{F}를 적당한 SS의 affine open covering {Ui}\{U_i\}가 있어서 F(Ui)=Mi\mathcal{F}(U_i)=M_i라고 한다면 SpecSymMi\mathrm{Spec}\,\mathrm{Sym}\,M_i들을 붙힌 scheme으로 정의하자. 여기에서 SymMi\mathrm{Sym}\,M_iMiM_i의 symmetric product로 간단히 MiM_i에다가 곱셈을 추가한 것이다. 비슷하게 우리는 ProjF\mathrm{Proj}\,\mathcal{F}를 정의할 수 있다. 단 Proj때는 MiM_i들이 finite module이어야 정의 가능하다고 생각하자. 그러면 언제나 SpecF,ProjFS\mathrm{Spec}\,\mathcal{F},\mathrm{Proj}\,\mathcal{F}\to S가 존재한다. 그리고 affine morphism과 projective morphism은 각각 이런 꼴 morphism이라고 정의할 수 있고, quasi-affine morphism과 quasi-projective morphism은 open immersion과 이런 꼴 morphsim의 composition이라고 할 수 있다.

projective morphism은 모두 proper morphism이다. 이는 k=Z,S=SpecZk=\mathbb{Z}, S=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}에서 증명해도 증명이 끝나며 그 다음엔 적당히 식을 변형해서 valuative criterion을 쓰면 된다.[4]

9. 평탄 사상 (Flat morphism)[편집]

자, 이제 RR이 아무 (commutative) ring (with unity)라고 하고 RR 위의 module MM을 생각하자. 그렇다면 MMflat RR-module이란 것은 모든 exact sequence
0NNN00\to N'\to N\to N''\to 0
에 대해서
0NRMNRMNRM00\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0
란 exact sequence가 존재하는 것이다.

이제 flat module의 성질을 알아내보자. 먼저, IIRR의 ideal이면
0IRR/I00\to I\to R\to R/I\to 0
란 exact sequence가 있고, 따라서 flat module이면
IRMMI\otimes_R M\to M
란 morphism이 언제나 injection이어야 한다는 걸 알 수 있다. 그리고 이것이 언제나 injection이고 FF'가 rank 1 free module over RR이고 f:FFf:F'\to F가 있다고 하자. 그러면 이것의 kernel을 생각하고 dual을 생각하고 dual을 간단히 FF^{\vee}라고 쓰고 F(F)F^{\vee}\to (F')^{\vee}의 image를 II라고 하면
FRMIRM(F)RMF^{\vee}\otimes_{R}M\to I\otimes_{R}M\to (F')^{\vee}\otimes_R M
를 만들 수 있고, F(F)F^{\vee}\to (F')^{\vee}의 kernel의 dual을 KK라고 하고 FF''를 free module이라고 할 때 FK0F''\to K\to 0이라는 KK의 presentation을 하나 잡으면 다음과 같은 exact sequence를 만들 수 있다.
(F)RMFRM(F)RM (F'')^{\vee}\otimes_R M\to F^{\vee}\otimes_R M\to (F')^{\vee}\otimes_R M
그럼 Hom-tensor adjuntion은 다음을 만든다.
HomR(F,M)HomR(F,M)HomR(F,M)\mathrm{Hom}_R(F'',M)\to \mathrm{Hom}_R(F,M)\to \mathrm{Hom}_R(F',M)
그리고 우리는 이걸 적당히 nn번 곱하는 걸로 FF'에 그러니까 요약하면 F,FF,F'가 모두 finitely generated free고 MM이 flat이고 FFF'\to F가 있다면 적당한 finitely generated free module FF''하고 morphism FFF\to F''가 있어서
<math>mathrm{Hom}_R(F'',M)to mathrm{Hom}_R(F,M)to mathrm{Hom}_R(F',M)</math>
라는 exact sequence가 있다는 것이다.

이제 MM이 아무 flat module일 때 finitely generated free module FFϕ:FM\phi:F\to M라는 morphism 두 쌍을 (F,ϕ)(F,\phi)라고 쓰기로 하고, 이것으로 set II을 만들자. 그렇다면 MM은 당연히 II에 대한 colimit다. 그리고 이는 MM이 flat이면 위에서 만든 정리는 II이 direct set임을 증명해준다.
이것은 다음을 뜻한다. MM이 filtered colimit of free modules라는 것과 동치며, 이 동치라는 정리를 Lazard theorem이라고 부른다.[5]

RR의 모든 finitely generated ideal II에 대해서 IRMMI\otimes_{R}M\to M이 injection이면 MM는 flat이라는 것을 알 수 있다. 이는 exact sequence 가운데에 있는 NN이 rank 1일 땐 모두 증명되고, rank를 올려보면 rank n짜리는 rank n1n-1짜리와 rank 1짜리로 쪼갠다. 그러면 free module에서 finite module로 가는 morphism의 kernel을 생각하면 rank n짜리의 kernel을 rank n1n-1짜리 kernel로 나누면 ideal이 나오므로 증명된다. finite module이란 조건을 빼려면 그냥 모든 module은 finite module의 direct limit고 tensor product는 direct limit와 commute하므로 증명이 끝난다.

MMfaithfully flat module over RR이란 것은
0NNN00\to N'\to N\to N''\to 0
이란 exact sequence가 있다는 것과
0NRMNRMNRM00\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0
이란 exact sequence가 있다는 것이 동치임을 뜻한다.

이제 module에서 algebra로 옮겨보자. ABA\to Bflat morphism이란 것은 BB가 flat AA-module이 될 때를 말한다. 그리고 faithfully flat morphism도 똑같이 정의한다. 그러면 ABA\to B가 faithfully flat이란 것은 flat이고 SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A가 surjection이라는 것과 동치다.[6]
이제 scheme X,YX,Y와 morphism f:XYf:X\to Y에 대해서 이것이 flat morphism이란 것을 모든 xXx\in X에 대해서 OY,f(x)OX,x\mathcal{O}_{Y,f(x)}\to \mathcal{O}_{X,x}가 flat인 것이다. 그리고 이것이 faithfully flat이란 것은 surjection이고 flat이라는 것이다. 그리고 {UiX}\{U_i\to X\}가 fpqc covering이란 것은 iUiX\bigsqcup_i U_i\to X가 faithfully flat이고 quasi-compact란 것이다.

그렇다면 {SpecBiSpecA}\{\mathrm{Spec}\,B_i\to \mathrm{Spec}\,A\}fpqc covering이란 것을 이것으로 만들어지는 AiBiA\to \bigoplus_i B_i가 faithfully flat morphism일 때를 말한다고 하자. 그러면 SpecA\mathrm{Spec}\,A-scheme들을 모은 category SchA\mathrm{Sch}_Afpqc topology를 줄 텐데, 간단히 covering을 fpqc covering으로 설정한 topology라고 하자. 그렇다면 fpqc topology를 준 SpecA\mathrm{Spec}\,A 위의 quasi-coherent sheaf란 것을 생각해볼 텐데, 이것은 직관적으로 flat morphism SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A마다 BB-module MBM_B를 준 거라고 생각할 수 있고, quasi-coherent란 조건은 SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A가 적당히 local하고 BCB\to C란 morphism이 있을 때 MC=MBBCM_C=M_B\otimes_B C라는 조건을 더 붙혀준다. 그러면 이런 걸로 충분할까??
우리가 sheaf의 정의를 생각할 때, 두 번째 조건에서 intersection을 생각한다. 그리고 그 intersection은 "자기 자신"하고 하면 그냥 topological space일 땐 문제 없겠지만 fpqc topology에선 SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A의 intersection은 SpecBABSpecA\mathrm{Spec}\,B\otimes_A B\to \mathrm{Spec}\,A가 되고, 따라서 그 위에 있는 module은 MM이라고 하면
MBAB=MBB(BAB)=MBABM_{B\otimes_A B}=M_B\otimes_B (B\otimes_A B)=M_B\otimes_A B
가 될 것이다. 근데 우리에겐 이것만 있는 것이 아닌데, 왜냐하면 SpecBABSpecA\mathrm{Spec}\,B\otimes_A B\to \mathrm{Spec}\,A는 두 가지 경우가 있을 수 있으며, 이는 BBABB\to B\otimes_A B에서 aAa\in A를 어느 쪽 coordinate로 보내냐에 따른 문제며, 각각을 i1,i2i_1,i_2라고 한다면
Mi1=MBAB,Mi2=BAMBM_{i_1}=M_B\otimes_A B,M_{i_2}=B\otimes_A M_B
가 나온다. 그러니까 우리는 ϕ:Mi1Mi2\phi:M_{i_1}\to M_{i_2}란 morphism도 필요하며, 이것은 세 번 intersection했을 때 정의할 수 있는 ϕ1,2:Mi1ABMi2AB,ϕ2,3,ϕ1,3\phi_{1,2}:M_{i_1}\otimes_A B\to M_{i_2}\otimes_A B,\phi_{2,3},\phi_{1,3}에 대해서
ϕ1,3=ϕ2,3ϕ1,2\phi_{1,3}=\phi_{2,3}\circ \phi_{1,2}
라는 일종의 cocycle condition을 만족해야 한다. 그러니까, SpecA\mathrm{Spec}\,A 위의 fpqc quasi-coherent sheaf란 것은 반드시 각 faithfully flat morphism ABA\to B마다 ϕ1,2:MBABBAMB\phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B도 같이 달려있어야 한다. 그래야 fiUi×XUj=fjUiXUjf_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\otimes_X U_j}라는 조건에서 둘이 있는 곳이 다르다는 참사가 일어나지 않는다.
이렇게, 우리는 이를 일반화해서 다음을 정의하자.
XX가 scheme이고 {UiX}\{U_i\to X\}가 fpqc covering이라고 하자. 그러면 fpqc descent datum of XX라는 것은 각 UiU_i 위의 (Zariski) quasi-coherent sheaf Fi\mathcal{F}_ii,j,ki,j,k에 대해서 ϕi,j:FiFj\phi_{i,j}:\mathcal{F}_i\to \mathcal{F}_j가 있어서 cocycle condition ϕi,k=ϕj,kϕi,j\phi_{i,k}=\phi_{j,k}\circ \phi_{i,j}를 만족하는 다음과 같은 모임 (Fi,ϕi,j)(\mathcal{F}_i,\phi_{i,j})를 뜻한다.
이렇게, descent datum이라고 불리는 것이야말로 fpqc quasi-coherent sheaf라고 생각할 수 있다.

이제 우리는 faithfully flat descent란 걸 생각해보자.
  • ABA\to B가 faithfully flat morphism이고 MMAA-module일 때 다음과 같은 exact sequence 0MMABMABAB0\to M\to M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B가 생긴다. 여기에서 MABMABABM\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A Bd:mbmb1m1b\mathrm{d}:m\otimes b\mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b로 정의한다.
이것의 증명은 개요만 말하면 M=AM=A일 때부터 생각하고 ABA\to B가 section BAB\to A가 있을 땐 1a=a11\otimes a=a\otimes 1일 때 B=AIB=A\oplus I라고 생각하면 II의 원소는 절대로 d\mathrm{d}의 kernel에 들어갈 수 없고, 따라서 exactness가 완성된다.
section이 없으면 section을 만들면 된다. ABA\to B 양 옆에 BB를 tensoring해서 BBABB\to B\otimes_A B로 만들면 이건 BABBB\otimes_A B\to B란 section이 있으며 이를 구체적으로 써보면 bbbbb\otimes b'\mapsto bb'가 된다. 그리고 faithfully flat이란 성질에 따라서 증명이 끝난다.

이제 다음 1-1 대응을 만들어보자.
  • {fpqc descent datums of X}{quasi-coherent sheaves of X}\{\text{fpqc descent datums of }X\}\leftrightarrow \{\text{quasi-coherent sheaves of }X\}
이는 direct limit와 direct image, inverse image에 의해서 보존된다. 그러니까 fpqc quasi-coherent sheaf는 사실 그냥 quasi-coherent sheaf라고 다를 게 없다!! 증명은 이는 local peoperty므로 X=SpecAX=\mathrm{Spec}\,A라고 가정해도 좋고, 모든 quasi-coherent sheaf는 자연스럽게 fpqc descent datum을 만들고, 이제 아무 fpqc descent datum을 잡아도 그것이 quasi-coherent sheaf를 만듦을 증명하면 되는데, SpecBSpecA\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A가 faithfully flat morphism이고 ϕ1,2:MBABBAMB\phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B라고 하면 ϕ:MBABBAMB\phi:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B에 대해서 다음을 정의하자.
M={mMBϕ(m1)=1m}