조르당 분해

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조르당 분해(Jordan decomposition)은 상사행렬들을 완벽하게 분류해준다. 즉, 모든 행렬은 조르당 분해를 가지며, 두 행렬이 서로 상사일 필요충분조건이 둘의 조르당 분해가 같은 것이다. 단 조건이 있는데, 스칼라 체 FF가 대수적으로 닫혀있어야 한다. 즉, F=CF=\mathbb{C}에서는 조르당 분해를 항상 찾을 수 있으나, F=RF=\mathbb{R}에서는 찾을 수 없을 수도 있다.

조르당 분해는 제1분해정리(primary decomposition)와 제2분해정리(cyclic decomposition)을 동시에 사용하여 얻는다. 벡터 공간 VV선형 변환 TT를 생각하자.

1. 제1분해정리(primary decomposition)2. 제2분해정리(cyclic decomposition)3. 조르당 분해(Jordan decompostion)

1. 제1분해정리(primary decomposition)[편집]

TT최소 다항식, pp와 그것의 소인수분해 p=pirip=\prod p_{i}^{r_{i}}를 생각하자. Wi:=kerpiri(T)W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)라 하면, 다음이 성립한다.
  • V=iWiV={\displaystyle \bigoplus_{i}}W_{i}
  • TWi\left.T\right|_{W_{i}}의 최소 다항식은 pirip_{i}^{r_{i}}이다.

이 중 첫 번째 것을 primary decomposition이라 한다. 이는 최소 다항식 말고 특성 다항식에 대해서도 성립한다.

2. 제2분해정리(cyclic decomposition)[편집]

우선, FF-벡터 공간 VVF[x]F\left[x\right]-가군으로 이해하는 것에서 시작한다. PID F[x]F\left[x\right]VVfv:=f(T)vf\cdot v:=f\left(T\right)v로 작용한다고 하자. 이것에 의해 VVF[x]F\left[x\right]-가군이다. F[x]F\left[x\right]PID이므로, PID 위의 유한생성 가군의 기본정리에 의해, VF[x](F[x])ri=1n(F[x]/(ai))V\cong_{F\left[x\right]}\left(F\left[x\right]\right)^{r}\bigoplus{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)(aiai+1a_{i}\mid a_{i+1})이다. 여기서 TT최소 다항식 pp에 의해, 임의의 vVv\in V는, pv=0p\cdot v=0이므로, r=0r=0이다. 즉, VF[x]i=1n(F[x]/(ai))V\cong_{F\left[x\right]}{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)이다.

이제 i=1n(F[x]/(ai)){\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{n}}\left(F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)\right)을 살펴보자.
F[x]/(ai)F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)B={xi:0i<n}B=\left\{ \overline{x}^{i}:0\leq i<n\right\}을 기저로 갖고 여기서, xxxxi=xi+1x\cdot \overline{x}^{i}=\overline{x}^{i+1}(i<n1i<n-1), xxn1=j<nbjxjx\cdot \overline{x}^{n-1}=-{\displaystyle \sum_{j<n}}b_{j}\overline{x}^{j}로 작용한다.[1] 따라서, FF-벡터 공간 F[x]/(ai)F\left[x\right]/\left(a_{i}\right)의 선형변환 xx는 기저 BB에 대해, [x]B=(0b010b110b210bn21bn1)\left[x\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & -b_{0}\\1 & 0 & & & & -b_{1}\\ & 1 & 0 & & & -b_{2}\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0 & -b_{n-2}\\ & & & & 1 & -b_{n-1}\end{array}\right)이다. 이를, xn+i<nbixix^{n}+{\displaystyle \sum_{i<n}}b_{i}x^{i}의 동반행렬(companion matrix)이라 한다. 이것을, CaiC_{a_{i}}라 하자.
이에 의해, [T]B0=(Ca1Can)\left[T\right]_{B_{0}}=\left(\begin{array}{ccc}C_{a_{1}}\\ & \ddots\\ & & C_{a_{n}}\end{array}\right)로 표현된다. 이를 cyclic decomposition, rational form이라 한다.

3. 조르당 분해(Jordan decompostion)[편집]

TT의 최소 다항식, pp와 그것의 소인수분해 p=pirip=\prod p_{i}^{r_{i}}를 생각하자. 조르당 분해는, pi=xcip_{i}=x-c_{i}를 가정한다. 즉, 대수적 폐체에서는 항상 조르당 분해를 찾을 수 있지만, 그렇지 않으면 존재하지 않을 수도 있다.

Wi:=kerpiri(T)W_{i}:=\ker p_{i}^{r_{i}}\left(T\right)라 하자. primary decomposition의 두 번째 명제에서 N=TWiciIN=\left.T\right|_{W_{i}}-c_{i}I의 최소 다항식은, xnix^{n_{i}}이다. 이것의 cyclic decompostion을 생각하면, [N]B=(001001001010)\left[N\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}0 & & & & & 0\\1 & 0 & & & & 0\\ & 1 & 0 & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & 0\\ & & & & 1 & 0\end{array}\right)이다. TWi=T+ciI\left.T\right|_{W_{i}}=T+c_{i}I에 의해, [TWi]B=(ci01ci01ci01ci1ci)\left[\left.T\right|_{W_{i}}\right]_{B}=\left(\begin{array}{cccccc}c_{i} & & & & & 0\\1 & c_{i} & & & & 0\\ & 1 & c_{i} & & & 0\\ & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 1 & c_{i}\\ & & & & 1 & c_{i}\end{array}\right)이다. 이를 조르당 블록이라 하고, Jn(c)J_{n}\left(c\right)으로 표현한다.[2] cyclic decomposition을 적용하면, [T]B=i(njnj+1Jnj(ci))\left[T\right]_{B}={\displaystyle \bigoplus_{i}}\left({\displaystyle \bigoplus_{n_{j}\leq n_{j+1}}}J_{n_{j}}\left(c_{i}\right)\right)이다. 이것을 조르당 형식(Jordan form)이라 한다. 서로 상사인 두 행렬은 (직합의 순서를 무시하면) 서로 같은 조르당 형식을 갖고, 그 역도 성립한다.

[1] xn+j<nbjxj=aix^{n}+{\displaystyle \sum_{j<n}}b_{j}x^{j}=a_{i} [2] cc주대각선 상의 원소, nn은 행렬의 크기