주대각합

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Trace
1. 개요2. 성질
2.1. 기본적인 성질2.2. 파생되는 성질2.3. 다른 개념들과의 관계
3. 같이 보기

1. 개요[편집]

정사각행렬(n×nn\times n 행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬 AA의 주대각합은 tr(A)\mathrm{tr}(A)로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.
A=(a1,1a1,2a1,na2,1a2,2a2,nan,1an,2an,n)A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}
이라고 하면, tr(A)=a1,1+a2,2++an,n\mathrm{tr}(A) = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n}이다.

2. 성질[편집]

2.1. 기본적인 성질[편집]

AAm×nm \times n행렬이고, BBn×mn\times m행렬일 때,
tr(AB)=tr(BA) \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)
이 때, A, B는 정사각행렬이 아니어도 된다.

이외에도 특수한 행렬에 대해서 다음이 성립한다.
  • 영행렬 OO에 대해서 tr(O)=0\mathrm{tr}(O) = 0이다.
  • nn차 단위행렬 InI_n에 대해서 tr(In)=n\mathrm{tr}(I_n) = n이다.

2.2. 파생되는 성질[편집]

아래 성질들은 모두 determinant 또한 만족하는데, 이는 det의 기본 성질인 det(AB)=det(A)det(B) \det(AB) = \det(A) \det(B) [1]에서 비롯된다.
  • 상사인 두 행렬 A, B에 대해 tr(A)=tr(B) \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B). det도 마찬가지.
  • 이는 A를 대각화한 행렬 D, 삼각화한 행렬 T에 대해서도 당연히 성립. det도 마찬가지.
  • 따라서 determinant는 고윳값들의 곱이고, trace는 고윳값들의 합이다. D, T의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.[2]

2.3. 다른 개념들과의 관계[편집]

위 성질들 때문에 determinant와 관련된 성질이 굉장히 많아진다.
  • n×nn\times n 행렬 AA특성 다항식의 n-1차항 계수는 tr(A) - \mathrm{tr}(A)이다.
    det(xIA)=σSnsgn(σ)i=1n(xδiσ(i)aiσ(i))\det(xI-A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_{n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})
    에서, sgn(σ)i=1n(xδiσ(i)aiσ(i))\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}(x\delta_{i\sigma(i)}-a_{i\sigma(i)})가 n-1차 이상일 때만, det(xIA)\det(xI-A)의 n-1차 항의 계수에 영향을 주는데, 그러한 경우는 σ(i)=i\sigma(i)=i인 경우 밖에 없음을 쉽게 확인할 수 있다.
  • det(eA)=etr(A) \det(e^A)=e^{\mathrm{tr}(A)} . 이때 eA=i=01i!Ai\displaystyle e^A= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i!} A^i 이다. 테일러 급수 참고.
  • 벡터 a,b\mathbf{a}, \mathbf{b}에 대해서 ab=tr(ab)\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})가 성립한다.

3. 같이 보기[편집]

[1] A, B는 정사각행렬[2] 이 성질은 스칼라 체가 너무 후져서 대각화 또는 삼각화가 안되는 경우에도 특성다항식의 계수와 주대각합의 관계로 대신해서 생각해볼 수 있다. 이에 대해선 아래에 후술.

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