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선형대수학의 대수적 구조
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기본 개념
선형 시스템
주요 정리
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벡터공간의 분해
벡터의 연산
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다중선형대수
1. 개요2. 성질
2.1. 기본적인 성질2.2. 파생되는 성질2.3. 다른 개념들과의 관계
3. 같이 보기


trace

1. 개요[편집]

정사각행렬(n×n 행렬)의 주대각성분들을 다 더한 값으로, 행렬 A의 주대각합은 tr(A)로 표기한다. 행렬식(determinant)과 깊은 연관이 있다.

2. 성질[편집]

2.1. 기본적인 성질[편집]

  • tr(AB)=tr(BA)
이 때, A, B는 정사각행렬이 아니어도 된다. 물론 A가 m×n 행렬이라면 B는 n×m 행렬이어야 한다.

2.2. 파생되는 성질[편집]

아래 성질들은 모두 determinant 또한 만족하는데, 이는 det의 기본 성질인 det(AB)=det(A)det(B)[1]에서 비롯된다.
  • 상사인 두 행렬 A, B에 대해 tr(A)=tr(B). det도 마찬가지.
  • 이는 A를 대각화한 행렬 D, 삼각화한 행렬 T에 대해서도 당연히 성립. det도 마찬가지.
  • 따라서 determinant는 고윳값들의 곱이고, trace는 고윳값들의 합이다. D, T의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져있기 때문이다. 복소수 범위에서 대각화 또는 삼각화는 항상 가능하기 때문에, 이 성질도 마찬가지로 항상 성립한다.

2.3. 다른 개념들과의 관계[편집]

위 성질들 때문에 determinant와 관련된 성질이 굉장히 많아진다.
  • n×n 행렬 A의 특성 다항식의 상수항이 det(A)라면, n-1차항 계수는 tr(A)이다.
  • det(e^A)=e^tr(A). 이 때 e^A는 테일러 급수 형태로 정의한다.

3. 같이 보기[편집]

[1] A, B는 정사각행렬