차원 정리

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Rank theorem
1. 개요2. Rank와 Nullity
2.1. 행렬의 경우2.2. 선형 변환의 경우
3. 행렬 버전
3.1. 증명
3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수3.1.2. 본정리의 증명
4. 선형 변환 버전
4.1. 증명
5. 같이 보기

1. 개요[편집]

차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.

2. Rank와 Nullity[편집]

Rank는 계수, 차수로도 불린다.

2.1. 행렬의 경우[편집]

행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]벡터공간행공간(row space), 열벡터들로 생성한 벡터공간을 열공간(column space) 또는 상(image)이라고 하고, 행렬 AA의 행공간을 row(A)\mathrm{row}(A), 열공간을 col(A)\mathrm{col}(A) 또는 im(A)\mathrm{im}(A)[3]라 표기한다. 이때 다음의 정리가 성립한다.
dim(row(A))=dim(col(A))\dim \left(\mathrm{row} \left(A\right) \right)=\dim(\mathrm{col}(A)) [4]
이 때 이 값을 행렬 AARank라고 하고, rank(A)\mathrm{rank}(A)로 표기한다.

행렬 AA에 대해 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}[5]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 된다. 이때 이 공간을 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라고 하며 null(A)\mathrm{null}(A) 또는 ker(A)\ker(A)라고 표기한다. 영공간의 차원Nullity라고 하며[6] nullity(A)\mathrm{nullity}(A)로 표기한다.

2.2. 선형 변환의 경우[편집]

3. 행렬 버전[편집]

  • m×n 행렬 A에 대해 rank(A)+nullity(A)=n \mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n

이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[7]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.

3.1. 증명[편집]

3.1.1. 보조정리: 행동치와 계수[편집]

이 자체만으로도 충분히 유용한 경우가 많으나, 본 정리의 증명에 필수적이기에 보조정리로 분류하였다.
A와 B가 행동치(Row Equivalent)[8]인 행렬이라고 하자. 이때 row(A)=row(B)row(A)=row(B)이다.

AA는 기본행연산을 통해 BB로 변환될 수 있다. 다시 말해, BB의 각 행은 AA의 각 행의 선형결합(Linear Combination)이다.
이는 BB의 각 행의 임의의 선형결합이 AA의 각 행 사이 어떤 선형결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 row(B)row(A)row(B) \subset row(A).
마찬가지로, AA의 각 행의 모든 선형결합을 BB의 각 행의 선형결합으로 표현될 수 있다. 그러므로 row(A)row(B)row(A) \subset row(B).
위 두 결과에 의해, row(A)=row(B)row(A)=row(B). ■

3.1.2. 본정리의 증명[편집]

AAm×nm \times n 행렬일 때 rank(A)+nullity(A)=n\mathrm{rank}(A)+\mathrm{nullity}(A)=n이다.

4. 선형 변환 버전[편집]

  • V,WV, W가 유한차원 벡터공간이라고 하면, 선형 변환 T:VWT:V\to W 에 대해 rank(T)+nullity(T)=dimV \mathrm{rank}(T)+\mathrm{nullity}(T)=\dim V

4.1. 증명[편집]

5. 같이 보기[편집]

[1] 영어로는 Dimension Theorem, Rank Theorem, Rank-Nullity Theorem 등으로 부른다.[2] 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.[3] 대소문자에 주의할 것. Im(A)\mathrm{Im}(A)라고 쓰면 허수부만 취한다는 뜻이 된다. 때문에 허수부를 취하는 함수 표기를 (A)\Im \left(A\right)로 쓰기도 한다.[4] 벡터공간 V에 대해 V의 차원dim(V)\dim(V)로 표기한다.[5] 영벡터[6] 즉 dim(null(A))=nullity(A)[7] free variables의 개수[8] 기본행연산을 통해 서로 변환될 수 있는 관계

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