케일리-해밀턴 정리

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1. 개요2. 고등학생용 참고서에 나오는 케일리-해밀턴 정리3. 가군을 이용한 증명법

1. 개요[편집]

1(항등원)을 갖는 가환환 위의 n차 정사각행렬은 차수가 n인 특수한 방정식의 해가 된다는 정리이다. 이름은 아서 케일리윌리엄 로원 해밀턴의 이름에서 따왔다.

이 방정식은 선형대수학을 대학 수준에서 조금이라도 배웠으면 친숙할, 행렬의 특성방정식이다. 행렬의 고윳값이 해가 되기에 고윳값 문제만 나오면 학생들이 닥치고 푸는 det(λIA)=0\text{det}(\lambda I-A)=0 (행렬 AA의 특성방정식) 말이다. 여기에 복소수 스칼라 λ\lambda 대신 자기 자신의 행렬 AA를 넣어도 방정식이 성립한다는 정리다. 물론 변수를 스칼라 대신 행렬을 넣었으므로 숫자 0도 영행렬로 바꿔야 한다.

증명을 det(λIA)=0\text{det}(\lambda I-A)=0에서 λ\lambda 대신 AA를 넣고det(AA)=0\text{det}(A-A)=0이니 성립한다고 하면 교수님한테 털릴 것이다. 원래 방정식의 λ\lambda는 스칼라인데 행렬을 무턱대고 넣으면 탈이 나는 법.[1] 애초에 det(λIA)=0\text{det}(\lambda I-A)=000은 스칼라 00이고 특성방정식에 AA를 대입해서 나오는 OO은 영행렬이니 혼동하면 안된다. 이 증명이 틀린 이유에 대해서는 여기의 17페이지를, 엄밀한 증명은 이곳을 참조.

2. 고등학생용 참고서에 나오는 케일리-해밀턴 정리[편집]

행렬 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있는 꼼수의 일종. 2009 개정 교육과정 기준으로 고급 수학Ⅰ에서 다룬다.

2차 정사각행렬의 경우는 이렇다.

A=[abcd] A = \begin{bmatrix} a \quad b \\ c \quad d \end{bmatrix} 로 두면,
A2(a+d)A+(adbc)E=O A^{2} - \left(a+d\right)A + \left(ad - bc\right) E = O 라고 학생들은 기억하고 있다. 고등학교 수학에서 행렬의 연산은 거의 2차 정사각행렬만 다루므로 이렇게만 기억하면 된다. 의외로 많은 학생들이 모르는 사실이지만 이 수식은 로피탈 정리와 마찬가지로 교육과정에서 다루지 않는 내용이다. 대부분 교과서보다는 주로 참고서 위주로 공부하다보니, 이 식이 참고서에 있어서 교육과정 중 하나로 생각하는 학생들이 많은 편. 못 믿겠다면 지금 수학1 교과서를 펴서 확인해보자. 교과서 어디에도 이 수식은 나와있지 않을 뿐더러 나온다 하더라도 쉬어가는 페이지에서 헤밀턴이란 수학자를 소개함과 동시에 짤막하게 언급되는 정도로만 등장할 것이다.

애초에 이 식은 행렬 그 자체보단 대학교에서 더 포괄적인 수식들(특성방정식)을 풀 때 쓰기에, 특성방정식 자체를 다루지 않는 고등학교에서는 설명이 불가능하다. 쉽게 말해서 이제 막 방정식의 개념과 1차 방정식 풀이법을 배우는 중1 학생들에게 2차 방정식 근의 공식을 증명해줄 수 없는 것과 같다. 학생들에게 특정 개념이 정확히 어떤 것인지를 알 게 해주는 게 1번째 목적인 수학교육과정 특성상 증명이 불가능한 수식을 내놓을 수는 없다. 선형대수학의 '선'자도 모르는 학생들에게 케일리-해밀턴 정리를 주고 '이거 쓰면 문제 쉽게 풂 ㅇㅇ'하는 것은 수학이라는 과목에 대한 취지를 벗어나는 것이다.

실제로 교육과정에 없는 정리이다보니 삽자루 등 몇몇 인강강사들은 케일리-해밀턴 정리를 아예 가르치지 않는다. 특히 선행학습을 굉장히 극혐하는 삽자루는 케일리-해밀턴 얘기만 나오면 욕을 남발하는 것으로 유명하다. 다만 내신 시험에서는 학교 선생님의 취향에 따라 케일리-해밀턴 정리를 풀이 과정에 서술해도 눈감아 주거나 아예 케일리-해밀턴 정리만을 위한 문제가 종종 나오기도 한다.보통 (a+d)\left(a+d\right)의 최솟값이나 (adbc)\left(ad-bc\right)의 최댓값을 물어보는 문제가 출제되는데, A=kEA=kEAkEA\neq kE 두 경우로 나누어 해결하면 된다.

3. 가군을 이용한 증명법[편집]

cyclic decomposition에 의하면, 정사각행렬 AA[A]B0=(Ca1Can)\left[A\right]_{B_{0}}=\left(\begin{array}{ccc}C_{a_{1}}\\ & \ddots\\ & & C_{a_{n}}\end{array}\right)(aiai+1a_{i}\mid a_{i+1})로 표현할 수 있다.
다음 사실을 받아들이자.
동반행렬 CfC_{f}의 최소다항식, 고유다항식은 모두 ff이다.[2]
  • 고유다항식
    CaiC_{a_{i}}의 고유방정식은 aia_{i}이므로, AA의 고유방정식은 i=1nai{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_{i}}이다.
  • 최소다항식
    f(A)=0f\left(A\right)=0이면,f(Can)=0f\left(C_{a_{n}}\right)=0에서 anfa_{n}\mid f이다. 그리고, aiana_{i}\mid a_{n}, ai(Cai)=0a_{i}\left(C_{a_{i}}\right)=0에서 an(A)=0a_{n}\left(A\right)=0이다. 따라서, ana_{n}AA의 최소다항식이다.
그리고ani=1naia_{n}\mid{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_{i}}이다.

[1] “저자의 경험에 의하면, 한 교실에 한 명쯤은 이 증명이 옳다고 끝까지 우긴다…” from 이인석, 《학부 대수학 강의 I: 선형대수와 군》, 서울대학교출판부, 2005.역시 서울대생도 사람이구나 참고로 저 책에서는 위와 같은 억지 증명을 “막가파式 증명”으로 소개하고 있다.증명 다음에 나오는 ㅋㅋ는 덤 [2] 고유다항식임을 증명하는 것은, 순전히 계산이다. 최소다항식임을 보이는 것은, 계산을 통해 f(Ca)e1=0f\left(C_{a}\right)e_{1}=0afa\mid f임을 보이고, a(Ca)e1=0a\left(C_{a}\right)e_{1}=0임을 보여 가능하다.