텐서

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1. 물리수학에서의 개념
1.1. 물리학에서의 텐서1.2. 수학에서의 텐서
1.2.1. 정의1.2.2. 텐서 공간의 기저1.2.3. 텐서의 정의의 동일성1.2.4. 대칭 텐서(Symmetric Tensor)1.2.5. 교대 텐서(Alternating Tensor)1.2.6. 교대화(Alternatization)와 쐐기 곱(Wedge Product)
1.3. 두 정의의 연관성
2. 던전 앤 드래곤 시리즈의 등장 인물

1. 물리수학에서의 개념[편집]

벡터 계산을 단순화하기 위해 여러 같은 성질의 벡터를 한 행렬 안에 표기하고 그것을 단순화하여 표기한 것으로 보면 된다.

물리학에서는 자연현상을 설명하기 위해 거의 필수적으로 좌표계를 도입해서 시간과 공간에 숫자를 부여하고 이 숫자들 간의 관계로 법칙을 설명한다. 물리학의 거의 모든것들이 이런 공간과 시간의 개념이 없이는 설명되기 힘들다는 걸 알 수 있다. 시공간 개념과 아무 관계가 없어보이는 것들 (전하량, 질량 등) 도 곰곰히 생각해보면 그 양이나 효과를 측정하거나 이해하기 위해 시간에 따라 공간을 어떻게 이동하는지, 즉 가속도가 생기는지 위치가 변하는지 등으로 특성을 파악한다는 것을 알 수 있다. 하지만 이러한 좌표계나 단위 (unit: SI 단위계 혹은 cgs 단위계 같은), 척도 (scale) 를 도입하는 방법이 딱 한가지로 정해져 있는 것이 아니다. 물리법칙이란 것은 우리가 어떠한 좌표들을 도입하더라도 바뀌거나 하는 것이 아니기 때문에 도입되는 좌표와 무관하게 물리법칙을 기술할 필요성이 있다. 이처럼 도입된 좌표와 무관하게 유일무이하게 자연현상을 기술하기 위해 도입된 개념이 텐서이다 [1].

1.1. 물리학에서의 텐서[편집]

Tensor. 변환 형식과 관련된 것으로 행렬로 표현하기도 한다.

물리적으로 텐서의 정의는 '좌표변환하에서 특정한 변환법칙(transformation law)을 따르는 양'이다. 물론 수학적으로 들어가면 쌍대 공간(dual space)이니 텐서곱(tensor product)이니 왱알앵알해야 하지만 물리적으로는 저렇게 알면 된다. 간혹 '벡터를 다른 벡터로 변환시키는 무언가'로 이해하면 편리할 경우도 있지만, 그것은 2차 텐서에 한해서다.

또한, 벡터의 물리적 정의 역시 '크기와 방향을 가진 양'이 아니라 '크기와 방향을 가졌으며 좌표변환 시 변위와 같은 방식으로 변환되는 양'이다.(그렇지 않은 경우 유사벡터-pseudovector라 한다.) 수학에서는 벡터공간(vector space)이 잘 정의되는 무언가를 벡터라고 하지만 물리적으로는 저렇게 생각하면 된다.[2]

보통 행렬로 표현하는데, 일반적으로 n차원(dimension)의 m차(rank) 텐서는 nm개의 원소를 가지며 0차 텐서가 스칼라, 1차 텐서가 벡터[3]이다. 일반적으로 역학, 전자기학 등에는 2차 텐서가 가장 빈번하게 사용된다.[4] 3차 이상의 텐서도 생각할 수 있으며, 리만기하학이나 입자물리 등에서 활용된다. 3차 텐서의 경우 2차 텐서를 쌓아놓은 모양. 이쯤이면 눈치챘겠지만, 4차 텐서부터는 존 폰 노이만이나 리처드 필립스 파인만과 같은 천재 공감각자가 아니고서야 시각화할 수 없다.

행렬역학이라든지 양자역학 같은 특수한 경우엔 무한차원 벡터공간(…)[5]인 힐베르트 공간을 다룰 때 더 높은 차원의 텐서를 이용하기도 한다.

참고로 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 텐서가 많이 사용된다. 또한 유체역학에도 텐서가 많이 사용된다.

공학에서는 회전관성[6]이나 응력이 대표적인 2차 텐서로 표현되는 물리량이며, 압전효과, 열전효과 등의 에너지 변환을 다루는 분야에서는 변환 인자의 개념으로 3차, 4차 텐서까지도 심심치 않게 볼 수 있다.

1.2. 수학에서의 텐서[편집]

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
기본 대상
선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수

여러 벡터 공간 및 그 쌍대 공간들을 일종의 '곱연산'을 사용해 복합적으로 연결시킨 구조. 선형대수학이 나오는 분야 전반에 모두 사용된다. 주의할 점은 흥미롭게도 텐서를 주로 쓰는 미분기하학대수학의 텐서 서술에 차이가 있다는 것이다. 아래의 서술은 미분기하에서의 텐서 서술방식을 따르므로, 대수학의 텐서 서술은 텐서곱 항목을 참고하자. 정확히 말하면 미분기하에서의 텐서는 대수학의 텐서의 쌍대 공간으로 생각될 수 있다.

미분기하학에서의 텐서는 곡률, 미분형식 등의 개념에 사용된다. 양쪽을 모두 경험한 사람이라면 기하학의 텐서 서술이 일종의 물리량을 묘사하는 데에 수월하고, 대수학의 텐서 서술은 (텐서곱을 이해한다는 전제 하에) 서술이 간결하며 추상적인 논의에 더욱 적합함을 느낄 것이다. 물론 미묘한 차이를 구분하며 [7] 양쪽을 오갈 수 있으면 가장 좋다.

1.2.1. 정의[편집]

텐서는 쌍대 공간의 개념을 일반화한 것이라고 할 수 있다. FF 위에서 정의된 kk 텐서는 V1××VkV_{1} \times \cdots \times V_{k}에서 FF로 가는 다중 선형 사상(multilinear map) TT 이다[8][9]. 여기서 다중 선형 사상이라는 것은 각각의 viT(v1,...,vk)v_i \mapsto T(v_1, ..., v_k)가 선형 사상이라는 것이다. 쌍대 공간과 마찬가지로, kk 텐서들을 모아놓으면 벡터 공간이 된다. 이때 특별히 V1==Vk V_1 = \cdots = V_k 라면 이 벡터 공간을 Jk(V)\mathfrak{J}^{k} (V)이라고 표기한다. 물론 자명하게 V= J1(V)V^{*} =\ \mathfrak{J}^1 (V) 이다. 2 텐서의 예시로는 내적이 있으며, 행렬식nn [10] 텐서이다.

사실, 이 정의는 텐서의 정의를 간략화한 것이다. (p,q)(p, q) 유형의 텐서는 W1×...×Wp×V1×...×VqW_{1}^{*} \times ... \times W_{p}^{*} \times V_{1} \times ... \times V_{q} [11]에서 FF 로 가는 다중 선형 사상 TT 로 정의된다. 이 경우, (1, 0) 유형의 텐서의 공간은 이중 쌍대 공간 즉 벡터공간 자기 자신[12], (0, 1) 유형의 텐서의 공간은 쌍대 공간이라 할 수 있을 것이다. 하지만 아무래도 너무 추상적인 얘기로 빠지는 문제가 생기므로(...) 아래에서는 전자의 간략한 정의를 사용하기로 한다. 참고로 (p,q)(p, q) 텐서는 대수학에선 W1...WpV1...VqW_{1} \otimes ... \otimes W_{p} \otimes V_{1}^{*} \otimes ... \otimes V_{q}^{*} 와 동일하다.

덧붙여서, 텐서를 정의하는 방식은 다중 선형 사상 외에도 다차원 행렬이 있다. 벡터[13]는 어떻게 보면 스칼라를 가로로 늘어놓은 것이라고 생각할 수 있고, 행렬은 벡터를 세로로 늘어놓은 것이라고 생각할 수 있다. 이런 관점에서, kk 텐서는 FF 의 원소를 kk 차원 열으로 나열한 것이라고 정의할 수 있다. 그러므로 스칼라는 0 텐서, 벡터는 1 텐서, 행렬은 2 텐서라고 할 수 있다.

텐서는 보통 따로 표시를 하지 않지만, 행렬로 이루어진 텐서는 구별을 위해 밑줄 두 개를 넣는 경우(ε\displaystyle \underline{\underline \varepsilon})도 있다.

1.2.2. 텐서 공간의 기저[편집]

그런데 텐서들의 공간이 벡터 공간을 이룬다면, 그것의 기저는 어떻게 줄 수 있을까? 가장 표준적인 방법은 쌍대 공간에서 했던 것과 마찬가지로 기저를 주는 것이다. 유한 차원 벡터 공간 V1,,Vk V_1, \cdots, V_k 와 그 기저들 B1,,Bk \mathcal{B_1}, \cdots, \mathcal{B_k} Bi={vi,1,,vi,ni} \mathcal{B_i} = \left\{ v_{i, 1} , \cdots, v_{i, n_i} \right\} 로 주어져 있다고 하자. 그러면 V1××Vk V_1 \times \cdots \times V_k 에서 F F 로 가는 선형 사상의 공간의 기저는 {φi1,,ik:1αk1iαnα}\left\{ \varphi_{i_{1}, \cdots, i_{k}} : \forall_{ 1\le \alpha \le k} 1 \le i_{\alpha} \le n_{\alpha} \right\} ,
φi1,,ik(v1,j1,,vk,jk)= \varphi_{i_{1}, \cdots, i_{k}} \left( v_{1, j_{1}}, \cdots, v_{k, j_k} \right) = {1(1αk iα=jα)0(otherwise)\begin{cases} 1 & (\forall_{1 \le \alpha \le k}\ i_{\alpha} = j_{\alpha}) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} 가 된다. 사실, 텐서곱을 사용하면 φi1,,ik \varphi_{i_{1}, \cdots, i_{k}} φ1,i1φk,ik \varphi_{1, i_{1}} \bigotimes \cdots \bigotimes \varphi_{k, i_{k}} 임을 알 수 있을 것이다.[14][15]

1.2.3. 텐서의 정의의 동일성[편집]

위에서 텐서의 정의는 다차원 행렬 공간과 다중 선형 사상 공간의 두 가지가 있다고 하였다. 그런데 이 두 정의가 같다는 것은 무슨 의미일까? 그것은 바로 차원이 같은 다차원 행렬 공간과 다중 선형 사상 공간은 동형이라는 것이다. 우선 차원이 nin_iF F 위의 벡터 공간들 ViV_i를 생각하고, TTV1××VkV_1 \times \cdots \times V_k 에서 F F 로 가는 선형 사상들의 공간이라고 하자. 그리고 다차원 행렬 공간 Mn1××nk\mathfrak{M}_{n_{1} \times \cdots \times n_{k}}를 생각하자. 행렬 공간과 마찬가지로 Ei1,,ik=(ei1,,ik)n1××nkE_{i_{1}, \cdots, i_{k}} = \left( e_{i_{1} , \cdots , i_{k}} \right)_{n_{1} \times \cdots \times n_{k}} , ej1,,jk= e_{j_{1}, \cdots, j_{k}} = {1(1αk iα=jα)0(otherwise)\begin{cases} 1 & (\forall_{1 \le \alpha \le k}\ i_{\alpha} = j_{\alpha}) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} 로 주면 E={Ei1,,ik:1αk1iαnα} E = \left\{ E_{i_{1}, \cdots, i_{k}} : \forall_{ 1\le \alpha \le k} 1 \le i_{\alpha} \le n_{\alpha} \right\} [16]Mn1××nk\mathfrak{M}_{n_{1} \times \cdots \times n_{k}}의 기저가 된다. 즉, Mn1××nk\mathfrak{M}_{n_{1} \times \cdots \times n_{k}}는 차원이 n1××nkn_{1}\times \cdots \times n_{k}인 벡터 공간이다. 그런데 이는 T T 도 마찬가지이고, 차원이 같은 두 벡터 공간은 동형이므로 다차원 행렬 공간과 다중 선형 사상 공간은 동형이다.

1.2.4. 대칭 텐서(Symmetric Tensor)[편집]

어떤 kk 텐서 TT 가 대칭 텐서라는 것은 임의의 v,w v, w에 대해 T(...,v,...,w,...)=T(...,w,...,v,...)T(..., v, ..., w, ...) = T(..., w, ..., v, ...) 가 성립한다는 것이다. 모든 1 텐서는 자명하게 대칭 텐서이다. 2 대칭 텐서는 이차 형식(quadratic form)이라는 거창한 이름을 달고 있지만, 사실 뜯어보면 좌표들에 대한 2차 다항식이다. 내적(inner product)도 이의 일종으로 생각할 수 있다. 정확히 말하면 이차 형식 중 v0 v \neq 0 에 대해 항상 T(v,v)>0T(v,v) > 0 을 만족한다면 내적으로 불릴 자격이 있다.

1.2.5. 교대 텐서(Alternating Tensor)[편집]

어떤 kk 텐서 TT 가 교대 텐서라는 것은 임의의 v,w v, w에 대해 T(...,v,...,w,...)=T(...,w,...,v,...)T(..., v, ..., w, ...) = - T(..., w, ..., v, ...) 가 성립한다는 것이다[17]. 교대 텐서의 가장 대표적인 예시로는 행렬식이 있다. 또한 모든 1 텐서는 자명하게 교대 텐서이다.

교대 텐서를 특별히 도입하는 이유는 교대 kk 텐서의 공간 Ωk(V)\Omega^{k} (V) Jk(V)\mathfrak{J}^{k} (V) 의 대표적인 부분 공간이기 때문이다. 그런데, 우리는 Jk(V)\mathfrak{J}^{k} (V) 의 기저를 선택할 때 쌍대 기저를 사용했었으므로[18] Ωk(V)\Omega^{k} (V)의 기저도 마찬가지로 쌍대 기저를 통해 선택할 수 있을 것이라는 추측이 가능하다. 물론, 이 기저는 1 텐서로 이루어져 있으므로, 이들 중 '적절한' 것을 뽑아 텐서곱을 여러 번 해서 기저를 구성할 것이라고 기대할 수 있다.

그런데 심각한 문제가 있다. 교대 텐서의 텐서곱은 교대 텐서가 아니다! T=φ1φ1T = \varphi_1 \bigotimes \varphi_1 를 생각하자. 그러면 T(v1,v1)=φ1(v1)×φ1(v1)=1×1=1T(v_1, v_1) = \varphi_1 (v_1) \times \varphi_1 (v_1) = 1 \times 1 = 1 이 되어 T(v1,v1)T(v1,v1)T(v_1, v_1) \ne - T(v_1, v_1) 이다. 하지만 각각의 φ1\varphi_1 은 교대 텐서이다. 물론 굳이 이런 예시를 들지 않더라도, 텐서 곱의 각 항은 서로 아무 관련이 없으므로 서로에게 들어갈 값을 바꾼다고 텐서 곱의 값에 -가 붙는다는 것도 이상한 얘기이다. 그렇다면, 우리는 텐서 곱과 비슷하게 두 개의 텐서를 받아서 계수가 두 텐서의 계수의 합인 텐서가 나오면서도, 그 결과가 교대 텐서인 그런 연산이 필요하다.

1.2.6. 교대화(Alternatization)와 쐐기 곱(Wedge Product)[편집]

먼저 우리는 텐서의 교대화에 대해 정의할 필요가 있다. kk 텐서 TT 의 교대화는 Alt(T)(v1,...,vk)=1k!σSksgn(σ)T(vσ(1),...,vσ(k))Alt(T) (v_1, ..., v_k) = \frac{1}{k!} \sum_{\sigma \in S_k} {sgn(\sigma) T(v_{\sigma(1)}, ..., v_{\sigma(k)})}으로 정의되는 kk 텐서이다. 만약 Alt(T)Alt(T) 의 두 항을 바꾸면 원래 값보다 한 번 더 치환하거나 덜 치환하게 되므로 sgn(σ)sgn(\sigma) 의 값에 -1이 곱해진다. 즉, 어떤 텐서든지 교대화를 거치면 교대 텐서가 된다. 또한, TT 가 교대 텐서라면 T(vσ(1),...,vσ(k))=sgn(σ)T(v1,...,vk)T(v_{\sigma (1)}, ..., v_{\sigma (k)} ) = sgn(\sigma) T(v_1, ..., v_k)[19]이므로, 교대 텐서의 교대화는 자기 자신이다. 참고로, 교대화 연산은 선형적인 특성을 가진다. 증명은 어렵지 않으므로 생략한다.

이제 쐐기 곱에 대해 정의할 때이다. kk 텐서 TT ll 텐서 SS 의 쐐기 곱은 TS=(k+l)!k!l!Alt(TS)T\wedge S =\frac{(k+l)!}{k! l!} Alt(T \bigotimes S) 로 정의되는 k+lk+l 텐서이다[20][21]. 텐서 곱과 다른 특이한 점은 쐐기 곱은 두 항을 바꿔 곱했을 때의 값을 원래의 값으로 표현할 수가 있다는 점이다. 정확히는, TS=(1)klSTT\wedge S = (-1)^{kl} S\wedge T 이다. 이유는 이렇다. 쐐기 곱은 교대 텐서이므로, 두 항을 바꾸는 것이 가능하다. 그러면, kk 번의 치환을 통해 TT 에 들어갈 변수를 한 칸씩 앞으로 밀 수 있다. 이 것을 ll 번 반복하면, TT 의 변수는 모두 뒤로 밀리고, SS 의 변수는 모두 앞으로 나오게 된다. 그런데 이 값은 STS\wedge T 이다. 쐐기 곱은 텐서 곱처럼 결합 법칙을 비롯한 여러 성질이 동일하게 성립하지만, 증명은 꽤 귀찮으므로(...) 생략하도록 하자.

이제 기저 이야기로 돌아가보자. Ωk(V)\Omega^{k} (V)의 모든 원소 TT 는 교대 텐서이므로 당연히 Alt(T)=TAlt(T) = T 이다. 동시에, TJk(V)T\in \mathfrak{J}^{k}(V) 이므로 TT φi1...φik\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k} 의 선형 결합으로 나타내진다. 따라서 TT Alt(φi1...φik)Alt(\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k})의 선형 결합이라고 할 수 있다. 그런데 쐐기 곱의 정의 상 Alt(AB)Alt(A\bigotimes B) ABA\wedge B 의 상수 배이므로, 귀납적으로 생각해보면 Alt(φi1...φik)Alt(\varphi_{i_1}\bigotimes ... \bigotimes \varphi_{i_k})φi1...φik\varphi_{i_1}\wedge ... \wedge \varphi_{i_k}의 상수 배임을 알 수 있다.

하지만, 이것들 모두를 모아놓으면 기저가 되기에는 너무 크다. 위에서 보았듯, ABA \wedge BBAB\wedge A 의 상수배이며, 특히 AA 가 1 텐서라면 AA=AAA\wedge A = - A\wedge A가 되어 AA 는 0이다. 귀납적으로 생각해보면 순서만 바뀐 쐐기 곱은 원래 값의 상수배가 되며, 1 텐서의 쐐기곱에서 중복되는 것이 있으면 그 값이 0이 되어버릴 것이다. 즉, Ωk(V)\Omega^{k} (V) 를 생성하는 데에는 {φi1...φik:1i1<...<ikn}\left\{\varphi_{i_1}\wedge ...\wedge \varphi_{i_k} : 1\le i_1 < ... < i_k \le n\right\} [22]만으로 충분하다. 선형 독립은 위에서와 마찬가지 방식으로 보이면 된다. 결론적으로 말하자면, dimFΩk(V)=(nk)\dim_{F} {\Omega^{k}(V)} = { n \choose k}이다.

여담으로 행렬식에 대한 얘기를 해보자. 행렬식의 성질(또는 정의)를 생각해보면 detΩn(V)\det \in \Omega^{n}(V) 이다. 그런데 dimFΩn(V)=(nn)=1\dim_{F}{\Omega^{n}(V)} = {n \choose n} = 1 이므로, Ωn(V)\Omega^{n}(V) 의 모든 원소는 사실 det\det 의 상수배이다. 소 잡는 칼로 개미 잡는 느낌이긴 하지만(...) 이를 통해 행렬식의 정의를 어떻게 하든 결국엔 같다는 것을 보일 수 있다.
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1.3. 두 정의의 연관성[편집]

1.2 항목의 텐서에 좌표변환을 도입한 것이 1.1항목의 텐서가 된다. 좌표변환 σ\sigma가 두 벡터 공간 V,WV, W에 작용한다고 할 때, 이들의 텐서곱 VW V \otimes W 에도 σ(vw)=σ(v)σ(w) \sigma(v \otimes w) = \sigma(v) \otimes \sigma(w) (vV,wW v \in V, w \in W ) 로 정의되는 자연스러운 좌표변환을 줄 수 있다. 한편 σ\sigma쌍대 공간V V^* ϕ(v)=(σϕ)(σv) \phi(v) = (\sigma \phi) (\sigma v) 을 만족하게, 즉 역으로 작용한다. 이렇게 정의하면 수학에서의 텐서도 '좌표변환하에서 얻게 되는 특정한 변환법칙'을 얻을 수 있고, 1.1의 텐서를 포괄하는 개념이 된다.

물리학의 벡터는 (1,0)-텐서이고, 관성 모멘트응력 텐서는 축 벡터를 2개 집어넣었을 때 실수값을 뱉어내는 2차 다중선형형식이므로 (0,2)-텐서이다. 선형변환도 일종의 (1,1)-텐서로 볼 수 있다. 벡터를 넣으면 다른 벡터가 나오고, 따라서 벡터+듀얼벡터의 조합으로 실수값을 주기 때문. 두 텐서의 타입이 다른 것은 관성 모멘트의 변환식이 선형변환행렬의 변환식과 다른 본질적인 이유이다.

여담으로 행렬식에 대한 얘기를 더 하자면, 행렬식의 더욱 고급진 정의는 detΩn(V)\det \in \Omega^{n}(V) 자체가 아니라, 선형변환 T:VVT:V \rightarrow VΩn(V)F\Omega^{n}(V) \simeq F에 작용하는 숫자로 생각하는 것이 본질적이다.

2. 던전 앤 드래곤 시리즈의 등장 인물[편집]

던전 앤 드래곤 시리즈 세계관 중에 하나인 그레이호크에 등장하는 대마법사. 텐서(던전 앤 드래곤 시리즈) 문서 참고.

[1] kipid's blog - 텐서와 상대론 (Tensor and Relativity) - 0. 텐서 (Tensor) 란?[2] 그런데 양자역학 들어가면 어차피 벡터공간 배운다. 걱정하지 마라. 군론까지 튀어나오는 게 양자역학이다.걱정해야 하는 것 아닌가?[3] 주의할 점은 텐서가 벡터의 상위호환이라고 혼동해서는 안 된다는 점이다. 상술했듯이, 여기에서의 벡터는 물리학에서 사용하는, 크기와 방향이 존재하는 물리량을 의미한다. 수학에서 사용하는 개념인 벡터 공간과는 다르다. 물리를 통해 텐서를 접한 많은 수학과 학생들의 착각.물론 물리학에서라면 상관없지만[4] 가장 대표적이고 간단한 것이 우리가 흔히 관성모멘트라고 알고 있는 물리량. 일반물리를 배운 사람이라면 같은 형상의 관성모멘트도 축에 따라 다르다는 것을 알 수 있는데, 이를 반영하여 임의의 방향(벡터)에 대응할 수 있도록 3×3 행렬의 2차 텐서로 표현한 것이 관성 텐서.[5] 근데 (0, 1)위에 정의된 연속함수들의 집합(공간)도 각 함수를 벡터로 가지는 무한차원 벡터공간이다. 그다지 놀랄 만한 건 아니다.[6] 회전운동을 쉽게 표현하기 위해 물리량을 변형시 질량에 대응하는 양[7] 당장 아래에서는 교대텐서, 대칭텐서를 전체 텐서공간의 부분공간으로 정의했지만, 대수학에서는 이것의 쌍대를 생각하므로 교대텐서와 대칭텐서는 몫공간으로 생각해야만 한다.[8] 이때, kkTT 의 계수(rank)라고 한다.[9] 이때, 각각의 ViV_{i}F F 위의 벡터 공간이다.[10] n=dimFVn = \dim_{F} V[11] 물론 WiW_{i}VjV_{j}FF 위의 벡터 공간이고 WiW_{i}^{*}는 쌍대 공간.[12] 원래 이중쌍대공간이 자기 자신이 되는 것은 유한차원 한정이지만, 위의 기하학에서의 텐서의 정의는 유한 차원일 경우에만 사용된다. 무한차원일 경우에는 텐서를 애시당초 다중선형사상으로 정의하지 않는다.[13] 정확히는 nn 튜플이지만...[14] 단, φα,iα \varphi_{\alpha, i_{\alpha}} vα,iα v_{\alpha, i_{\alpha}} 에 대응되는 쌍대 기저라고 하자.[15] 이것이 기저임을 보이는 것은 어렵지 않다. 쌍대 공간에서 쌍대 기저가 기저임을 어떻게 보였는지를 생각해보자.[16] 마찬가지로 급조한 표기.[17] 반드시 다른 항의 두 값이 바뀌어야 한다. 그렇지 않으면 모든 교대 텐서는 그냥 0이다![18] 물론 dimFV< \dim_{F}{V} < \infty 일 때[19] 각 항을 치환할 때마다 -1이 곱해지는 것과, 원래의 값을 얻기 위해 σ1\sigma^{-1} 을 사용할 필요가 있음을 생각해보자.[20] 앞의 계수가 이상하다고 생각할 수 있는데, φi1φi2(vi1,vi2)=1 \varphi_{i_1} \wedge \varphi_{i_2} (v_{i_1}, v_{i_2}) = 1이 되도록 하는 보정 계수이다. 증명은 생략하지만, 쐐기 곱을 여러 번 하더라도 이 보정 계수 때문에 대응되는 기저를 대입하면 1이 된다.[21] 혹시 미분 형식의 표기에서 이런 이상한 쐐기를 본 적이 있다면, 그것의 정체는 이 쐐기 곱이 맞다. 사실, 미분 형식의 정의 자체가 교대 텐서와 크게 연관되어 있다.[22] 단, n=dimFVn = \dim_{F} {V}

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