텐서곱

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1. 개요2. 두 벡터의 텐서곱3. 두 텐서의 텐서곱4. 두 벡터 공간의 텐서곱
4.1. 텐서곱 연산에 의해 생성되는 벡터공간4.2. 곱공간의 몫공간


Tensor Product

1. 개요[편집]

텐서곱은 선형대수학에서 여러 의미로 사용되는 개념이다.

2. 두 벡터의 텐서곱[편집]

벡터 문서 참조.

3. 두 텐서의 텐서곱[편집]

kk 텐서 TT ll 텐서 SS 가 주어져 있다고 하자. 그러면 TT SS 의 텐서곱은 TS(v1,...,vk,vk+1,...,vk+l)T\bigotimes S(v_1, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_{k+l}) :=T(v1,...,vk)×S(vk+1,...,vk+l) := T(v_1, ..., v_k) \times S(v_{k+1}, ..., v_{k+l}) 로 정의되는 k+lk+l 텐서이다. 즉, 처음 kk 개 좌표를 T에 넣고, 그 다음 ll 개 좌표를 S에 넣어서 곱하는 함수이다. 이런 정의 때문에, 텐서 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 하지만, FF 상의 곱은 결합 법칙이 성립하므로, 결합 법칙은 성립한다고 할 수 있다. 결합 법칙이 성립하므로, 여타 다른 연산과 마찬가지로 텐서 곱을 여러 번 할 때 괄호를 생략할 수 있다.
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4. 두 벡터 공간의 텐서곱[편집]

벡터 공간 V V W W 가 주어져 있다고 하자. 그러면 V V W W의 텐서곱 VW V \bigotimes W 는 이들로부터 쌍선형적으로 확장되는 벡터 공간이다. 텐서곱의 정의는 여러 방식으로 가능하며, 여기서는 아래의 두 가지를 다루도록 하자.

4.1. 텐서곱 연산에 의해 생성되는 벡터공간[편집]

V,W V, W 의 기저 B={v1,,vn} \mathfrak{B} = \left\{ v_1, \cdots, v_n \right\} , C={w1,,wm} \mathfrak{C} = \left\{ w_1, \cdots, w_m \right\} 가 주어져 있다고 하자. 그러면 VW V\bigotimes W viwj v_i \bigotimes w_j 들에 의해 생성되는 벡터 공간이다. 이 때 이 공간의 덧셈과 스칼라곱은 다음과 같이 연산자 \bigotimes V,W V, W 의 덧셈과 스칼라곱에 대해 선형적이도록 정의된다. 즉,
  • 임의의 cF c \in F v,vV v, v' \in V , w,wW w, w' \in W 에 대해 다음이 성립한다.
    • (스칼라곱) c(vw):=(cv)w=v(cw) c\left( v\bigotimes w \right) := \left(cv \right) \bigotimes w = v \bigotimes \left(cw \right)
    • (덧셈 1) vw+vw:=(v+v)w v\bigotimes w + v' \bigotimes w := \left(v + v' \right) \bigotimes w
    • (덧셈 2) vw+vw:=v(w+w) v \bigotimes w + v \bigotimes w' := v \bigotimes \left( w + w'\right)

이 정의에서 어떤 기저를 골라도 각각의 텐서곱은 동형이다. 또한, 텐서곱을 여러 번 할 때 어떤 순서로 해도 각각은 동형이므로 동형의 관점에서 결합 법칙이 성립한다고 할 수 있다.

여담으로, 사실 텐서 공간 Jk(V) \mathfrak{J}^{k}\left(V\right) 는 이러한 방식으로 VV^{*} 의 텐서곱으로 정의된 것이다.

4.2. 곱공간의 몫공간[편집]

위의 정의는 각각이 동형이기는 해도 정의가 기저에 의존적이라는 문제가 있다. 이 문제를 해결하기 위해 텐서곱 VW V\bigotimes W 을 곱공간 V×W V \times W 의 몫공간V×W/ \left. V \times W \right/ \sim 으로 정의하기도 한다. 이 때 동치 관계 \sim 는 위의 정의에서 주어진 텐서곱의 세 가지 법칙에 따라 주어진다. 즉,
  • 임의의 cF c \in F v,vV v, v' \in V , w,wW w, w' \in W 에 대해 다음이 성립한다.
    • (스칼라곱) c(v,w)(cv,w)(v,cw) c\left( v, w \right) \sim \left(cv, w \right) \sim \left(v, cw \right)
    • (덧셈 1) (v,w)+(v,w)(v+v,w) \left(v, w\right) + \left(v', w\right) \sim \left(v + v', w \right)
    • (덧셈 2) (v,w)+(v,w)(v,w+w) \left(v, w\right) + \left(v, w'\right) \sim \left(v, w + w'\right)