표현론

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분류

1. 개요2. 표현(Representation)
2.1. 정의

1. 개요[편집]

표현론(Representation Theory)은 군(Group)과 같은 대수적 구조가 주어진 벡터 공간(Vector Space)에 어떻게 작용하는지를 분석함으로써 간접적으로 주어진 대수적 구조를 분석하는 대수학의 한 분야이다.

2. 표현(Representation)[편집]

2.1. 정의[편집]

표현(Representation)은 군의 원소를 벡터 공간 상의 변환에 대응시키는 것이다. 가장 대표적인 예시는 공간 상의 회전으로, 이는 회전군의 원소 σ \sigma 가 공간 상의 벡터 v v σ(v) \sigma(v)로 보내는 변환[1]에 대응되는 것이다. 다만, 이러한 모든 변환이 표현이 되는 것은 아니며, 다음의 제약 조건을 만족해야 한다.
  • 각 원소가 나타내는 변환은 선형 변환이어야 한다.
  • 항등원이 나타내는 변환은 항등변환이어야 한다.
  • 군의 두 원소의 곱[2]이 나타내는 변환은 각 원소가 나타내는 변환의 합성이어야 한다.

그런데 선형 변환은 대응되는 행렬을 가지며[3] 나머지 두 조건을 만족하기 위해서는 각 변환이 가역이어야 하므로[4] 표현은 군의 각 원소를 가역 행렬에 대응시키는 것이라 할 수 있다. 여기에 더해, 마지막 조건은 군에서의 연산이 표현을 통해 그대로 행렬의 곱으로 변환됨을 의미하므로 표현은 준동형 사상의 일종임을 알 수 있다. 이 때문에 표현은 흔히 주어진 군에서 가역행렬의 군[5]으로 가는 준동형 사상으로 정의한다.

[1] 사실 자기 자신이다. σ \sigma 가 원래부터 함수였기 때문.[2] 일반적으로 군의 연산이 곱을 나타낼 필요는 없지만 편의상 그냥 곱이라고 부르자.[3] 선형대수학의 기본정리 참고.[4] 역원이 나타내는 변환이 역함수가 될 수밖에 없다.[5] 흔히 GL(n,F)GL(n, F)로 나타낸다.