행렬곱

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1. 개요2. 정의3. 결합법칙4. 같이 보기

1. 개요[편집]

여타 행렬의 연산과 같이, ‘크기가 맞는’ 경우에만 할 수 있는데, 행렬의 곱셈에서 ‘크기가 맞다’는 것은 앞 행렬의 열의 수[1]와 뒤 행렬의 행의 수[2]가 같다는 것이다. 아래 곱셈의 정의를 보면 명확할 것이다.

곱셈 결과 나오는 행렬의 크기는 (앞 행렬의 의 수)×(뒤 행렬의 의 수)가 된다. 즉, 앞 행렬이 m×nm\times n 크기이고 뒤 행렬이 n×rn\times r 크기인 경우 곱은 m×rm \times r 크기의 행렬이 된다.

행렬의 곱셈을 각 성분 관점에서 보면 곱셈과 덧셈이 아울러 이루어진다. 다르게 말하면 앞 행렬의 행벡터와 뒤 행렬의 열 벡터의 내적값을 스칼라로 가지는 새로운 행렬을 얻는 과정이 바로 행렬의 곱셈이다.

즉, 행렬곱은 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열이 대응되는 특성이 있기 때문에 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 다만, 결합법칙은 성립한다. 이는 정의를 통해 쉽게 증명 가능하다.

행렬의 곱이 이렇게 부자연스럽게 정의되는데는 이는 이런 부자연스러운 정의가 기본정리에서의 선형변환행렬 사이의 함수의 합성과 행렬의 곱을 자유롭게 오갈 수 있도록 하기 때문이다. 이 부자연스러운 정의로 인해 유한차원 벡터공간 사이의 선형변환은 행렬의 곱으로 자유롭게 바꿔 쓸 수 있으며 반대도 물론 가능한 둘은 완전히 동일한 대상으로서 취급이 가능해진다.[3] 함수의 합성으로 이해하여 결합법칙은 성립하지만 교환법칙이 성립하지 않는 것도 이러한 관점으로 설명이 가능하다.

2. 정의[편집]

2×2 행렬의 경우 다음과 같이 묘사된다.
[x11x12x21x22][y11y12y21y22]=[x11y11+x12y21x11y12+x12y22x21y11+x22y21x21y12+x22y22] \begin{bmatrix} x_{11} \quad x_{12} \\ x_{21} \quad x_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{11} \quad y_{12} \\ y_{21} \quad y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{11}y_{11} + x_{12}y_{21} \quad x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22} \\ x_{21}y_{11} + x_{22}y_{21} \quad x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22} \end{bmatrix}

일반적인 경우를 기호로 간단히 표현하자면, 다음과 같다.
(xij)(yij)=(kxikykj)\left(x_{ij}\right)\left(y_{ij}\right)=\left(\sum_{k}x_{ik}y_{kj}\right)

3. 결합법칙[편집]

행렬곱은 결합법칙이 성립한다. 증명은 다음과 같이 할 수 있다.
(xij)(yij)(zij)=(k,lxikyklzlj)\left(x_{ij}\right)\left(y_{ij}\right)\left(z_{ij}\right)=\left(\sum_{k,l}x_{ik}y_{kl}z_{lj}\right)

즉 세 행렬을 곱했을 때[4] 나오는 행렬은 하나로 정해져 있으므로 자명히 결합법칙이 성립하게 된다.

4. 같이 보기[편집]


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[1] 한 행이 몇 개의 숫자로 되어 있는지[2] 한 열이 몇 개의 숫자로 되어 있는지[3] 예를들어 직교행렬, 유니타리 행렬 등을 직교변환, 유니타리변환 등의 선형변환으로 쓰는것도 문제 없이 가능하다.[4] 물론, 순서를 고려하여