행렬식

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선형대수학의 대수적 구조
선형대수학의 이론
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기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수
1. 역사2. 표기법3. 특징4. 정의
4.1. 의미4.2. 예시
5. 성질6. 선형변환에서의 행렬식

행렬식(determinant)
정사각행렬에 대해 정의되는 값으로, 행렬의 가역성을 판별해준다.

1. 역사[편집]

역사적으로 본다면 행렬연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까라고 고민한 데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 adbc ad - bc 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 다르게 나오는 것을 보고 얘네가 해의 존재 여부(궁극적으로는 행렬의 가역 여부)를 판별한다는 관점에서 determinant라고 부른 데서 행렬식이 탄생했고, 윌리엄 로원 해밀턴이 '야, 그러면 연립 방정식의 계수랑 변수를 따로 떼어내서 쓰면 어떨까?'라는 생각에서 행렬이 탄생했다. 즉 교육과정에서 배우는 것과는 달리, 역사적으로 보면 행렬식이 행렬보다 먼저 탄생했다.

2. 표기법[편집]

행렬식의 표기법으로는, determinant의 약자인 det\text{det}\left| \cdot \right|을 쓰는 방법이 있다.
  • det(1234)=2\text{det}\left(\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right)=-2
  • 1234=2\left|\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right|=-2
  • (1234)=2\left|\left(\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right)\right|=-2
  • A=2\left|A\right|=-2
등등

이때, 두 번째/네 번째 식에서 줄이 두 겹일 경우 행렬식을 구한 뒤 그 값의 절대값을 구한다는 의미이다. 자세한 내용은 노름 참조.
  • 1234=A=2=2\left\|\begin{array}{cc}1 \quad 2\\3 \quad 4\end{array}\right\|=\left\|A\right\|=|-2|=2

3. 특징[편집]

우선, 열벡터 각각을 하나의 인수로 보자. 그러면 다음과 같이 생각할 수 있다.
  • n=2n=2이면,
    det:(F2)2F\text{det}:\left(F^{2}\right)^{2}\rightarrow F
이 관점에서 행렬식은 다중선형(multi-linear), 교대(alternating) 범함수(functional)[1]이다.
풀어쓰면 다음과 같다.
  • 다중 선형성[2]
    각각의 ii와 임의의 aFa\in F, uFnu\in F^{n}에 대해
    det(v1,,vi1,avi+u,vn)=adet(v1,,vi1,vi,vn)+det(v1,,vi1,u,vn)\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},av_{i}+u,\ldots v_{n}\right)=a\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i},\ldots v_{n}\right)+\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},u,\ldots v_{n}\right)[3]
  • 교대성[4][5]
    det(v1,,vi1,vi,vj1,vj,vn)=det(v1,,vi1,vj,vj1,vi,vn)\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i}\ldots,v_{j-1},v_{j},\ldots v_{n}\right)=-\text{det}\left(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{j}\ldots,v_{j-1},v_{i},\ldots v_{n}\right)[6]
  • 단위 행렬의 값
    detI=det(ej)=1\text{det}I=\text{det}\left(e_{j}\right)=1

정의보다 특징을 먼저 논하는 이유는, 아래 정의 문단에 있는 식을 이해하기 위해서 행렬식과는 전혀 관계가 없어 보이는 대칭군이라는 개념을 알아야 4차 이상의 고차 행렬식도 계산을 할 수 있기 때문[7]이다. 사실 라이프니츠대칭군을 도입해서 행렬식을 정의하기 전까지는 위처럼 간단명료하지 않았기 때문에 처음 본 사람은, 복잡하게 느낄 수도 있다. 개론을 들었다면, 계산법만 배웠기에 무의미하게 느껴지기도 할 것이고. 어떤 위키러는, 위의 다중 선형성과 교대성을 행렬식의 성질이라 배웠는데, 왜 정의로 가져다 썼나 싶을 것이다. 그러나 다중 선형성과 교대성은 선형대수에서 아주 흔히 보이는 성질이라는 것을 생각하면 그렇지 않다. 그리고 지저분한 계산으로 정의하는 것보다는 (더 어렵긴 하지만) 자주 등장하는 성질로 정의하는 것이 본질에 더 가깝다는 것을 기억하여라. 계산에 의한 정의보다 다른 성질들을 증명하기 훨씬 편하다.

4. 정의[편집]

(aij)n×n=σSnsgn(σ)i=1naiσ(i)\left|(a_{ij})_{n\times n}\right|={\displaystyle \sum_{\sigma\in S_{n}}}\text{sgn}\left(\sigma\right){\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}a_{i\sigma\left(i\right)}
실제로 이 식이 상술한 다중 선형성과 교대성, 그리고 단위행렬(I)에서의 값이 1임을 보일 수 있다. 또한 저 세 성질을 만족하는 식은 위 식 하나뿐이다.[8]

4.1. 의미[편집]

원활한 이해를 돕기 위해 대칭군치환 항목도 참조.

항등치환 ε=(123in123in)\displaystyle \varepsilon = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots \cdots & i & \cdots \cdots & n \\ 1 & 2 & 3 & \cdots \cdots & i & \cdots \cdots & n \end{pmatrix}에 대해 아래와 같은 대칭군 σ\displaystyle \sigma
σ=(123inσ(1)σ(2)σ(3)σ(i)σ(n))\displaystyle \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots \cdots & i & \cdots \cdots & n \\ \sigma \left( 1 \right) & \sigma \left( 2 \right) & \sigma \left( 3 \right) & \cdots \cdots & \sigma \left( i \right) & \cdots \cdots & \sigma \left( n \right) \end{pmatrix}
에 이르는데 필요한 치환의 조작 횟수를 N(σ)N \left( \sigma \right)이라고 하면, 부호(signature) sgn(σ)\displaystyle \text{sgn} \left( \sigma \right)sgn(σ)=(1)N(σ)\displaystyle \text{sgn} \left( \sigma \right) = \left( -1 \right)^{N \left( \sigma \right)}로 정의한다.
이 부호와 행렬의 i,σ(i)i, \sigma \left( i \right) 성분 aiσ(i)\displaystyle a_{i \sigma \left( i \right)}계승 i=1naiσ(i)\displaystyle \prod_{i = 1}^{n} a_{i \sigma \left( i \right)}을 곱하면 행렬식을 계산하기 위한 항 1개가 얻어진다. 대칭군의 경우의 수는 nn개의 숫자를 나열하는 방법의 수 n!n!와 같으므로 모든 대칭군의 경우의 수에 대해 위 계산을 해서 모두 더해주면(Σ\Sigma) 구하고자 하는 행렬식의 값이 얻어진다.

4.2. 예시[편집]

3차 행렬식 A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33\displaystyle \left| A \right| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}의 경우 n=3n = 3이므로 다음과 같은 대칭군이 존재하며 부호는 다음과 같다.
ε=(123123),sgn(ε)=(1)0=1\varepsilon = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \varepsilon \right) = \left( -1 \right)^{0} = 1
σ23=(123132),sgn(σ23)=(1)1=1\sigma_{23} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \sigma_{23} \right) = \left( -1 \right)^{1} = -1
σ12=(123213),sgn(σ12)=(1)1=1\sigma_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \sigma_{12} \right) = \left( -1 \right)^{1} = -1
σ231=(123231),sgn(σ231)=(1)2=1\sigma_{231} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \sigma_{231} \right) = \left( -1 \right)^{2} = 1
σ13=(123321),sgn(σ13)=(1)1=1\sigma_{13} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \sigma_{13} \right) = \left( -1 \right)^{1} = -1
σ312=(123312),sgn(σ312)=(1)2=1\sigma_{312} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \text{sgn} \left( \sigma_{312} \right) = \left( -1 \right)^{2} = 1
따라서 A=σSnsgn(σ)i=13aiσ(i)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31\displaystyle \left| A \right| = {\sum_{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn} \left( \sigma \right)}}{\prod_{i = 1}^{3}{a_{i \sigma \left( i \right)}}} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} 이며 이는 3차 행렬식을 구하는 방법에 의한 결과와 정확히 일치한다.

5. 성질[편집]

  • AB=AB\left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|
  • AA가 가역일 필요충분 조건은, A0\left|A\right|\neq 0이다.
  • kA=knA\left|kA\right|=k^{n}\left|A\right|[9]
  • A=0\left|A\right|= 0이면, 0vFn0\neq v\in F^{n}가 존재하여 Av=0Av=0이다.

6. 선형변환에서의 행렬식[편집]

유한 차원 벡터 공간 VV에서 VV로 가는 선형변환 TT의 행렬식을 정의할 수 있다. VV의 기저 B1B_{1}, B2B_{2}를 생각하자. 만약, 두 행렬의 행렬식 [T]B1=[T]B2\left|\left[T\right]_{B_{1}}\right|=\left|\left[T\right]_{B_{2}}\right|이 같다면, 이것을 선형변환의 행렬식으로 삼을 수 있을 것이다. 이것은 실제로 성립한다. 따라서 이를 선형변환의 행렬식으로 삼는다. 즉, 이 [T]B\left|\left[T\right]_{B}\right|는, 기저의 선택과는 무관한 선형변환의 고유한 성질이다.

[1] 범함수란 벡터 공간에서 스칼라로 가는 선형변환을 말한다. [2] 각 인수들에 대해 선형이다. [3] 짧게 쓰자면, det(aδijvj+δiju)=adet(vj)+det((1δij)vj+δiju)\text{det}\left(a^{\delta_{ij}}v_{j}+\delta_{ij}u\right)=a\text{det}\left(v_{j}\right)+\text{det}\left(\left(1-\delta_{ij}\right)v_{j}+\delta_{ij}u\right)[4] 두 열 벡터를 교환하면, 부호가 뒤바뀐다. [5] 여기서 중요한 행렬식의 특징 하나가 유도되는데 vi=vjv_{i} = v_{j}일 경우, A=A\left| A \right| = -\left| A \right|에서 A=0\left| A \right| = 0, 즉 임의의 두 열벡터가 완전히 같을 경우 그 행렬식의 값은 무조건 0이 된다. 참고로 행렬식은 전치를 해도 값이 같기 때문에 임의의 두 행이 같은 경우에 대해서도 똑같이 0이 된다.[6] 짧게 쓰자면, σ=(ij)\sigma=\left(ij\right)에 대해, det(vj)=det(vσ(j))\text{det}\left(v_{j}\right)=-\text{det}\left(v_{\sigma\left(j\right)}\right)이다. 이것이 행렬식의 계산법에서 홀치환-짝치환을 따지는 이유이다.[7] 그런데 사실 이러한 고차 행렬식은 라플라스 전개를 이용하여 차수를 낮춰버리면 된다. 이 역시 행렬식의 특징을 이용해서 증명할 수 있다.[8] 따라서 정의를 위의 성질로 할 수도 있다. 이경우 행렬식을 단위행렬에서의 값이 1인 교대 n-중 선형형식(alternating n-linear form) 이라는 간단한 정의가 나온다.[9] nn은 행렬의 크기