Rank Theorem

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선형대수학의 대수적 구조
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선형 연산자
기본 개념
선형 시스템
주요 정리
기타
벡터공간의 분해
벡터의 연산
내적공간
다중선형대수

1. 개요2. Rank와 Nullity
2.1. 행렬의 경우2.2. 선형 변환의 경우
3. 행렬 버전
3.1. 증명
4. 선형 변환 버전
4.1. 증명
5. 같이 보기


차원 정리

1. 개요[편집]

차원 정리[1]는 rank와 nullity간의 관계를 설명해주는 정리이다.

2. Rank와 Nullity[편집]

Rank는 계수, 차수로도 불린다.

2.1. 행렬의 경우[편집]

행렬의 행벡터들로 생성(span, generate)[2]벡터공간행공간(row space), 열벡터들로 생성한 벡터공간을 열공간(column space) 또는 상(image)이라고 하고, 행렬 A의 행공간을 row(A), 열공간을 col(A) 또는 Im(A)라 표기한다. 이 때 다음의 정리가 성립한다.
  • dim(row(A))=dim(col(A))[3]

이 때 이 값을 행렬 A의 Rank라고 라고, rank(A)로 표기한다.

행렬 A에 대해 Ax=0[4]의 해 x들을 모은 집합은 벡터공간이 됨을 쉽게 보일 수 있다. 이 공간을 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라고 하며 null(A) 또는 ker(A)라고 표기한다. 영공간의 차원Nullity라고 하며[5] nullity(A)로 표기한다.

2.2. 선형 변환의 경우[편집]

3. 행렬 버전[편집]

  • m×n 행렬 A에 대해 rank(A)+nullity(A)=n

이는 선형 시스템 Ax=b에서 성립하는 rank(A)+(#free variables)[6]=n의 특수한 경우(Ax=0)라고 해석할 수 있다.

3.1. 증명[편집]

4. 선형 변환 버전[편집]

4.1. 증명[편집]

5. 같이 보기[편집]

[1] 영어로는 Dimension Theorem, Rank Theorem, Rank-Nullity Theorem 등으로 부른다.[2] 선형결합(일차결합, Linear Combination)을 다 모은다는 뜻이다.[3] 벡터공간 V에 대해 V의 차원을 dim(V)로 표기한다.[4] 영벡터[5] 즉 dim(null(A))=nullity(A)[6] free variables의 개수